Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
8.11. Разделить x^3 + аx + 1 на x– по правилу деления многочлена на двучлен.
8.12. Ясно, что остаток нужно искать в виде аx + b. Если данный многочлен обозначить через P(x), а частное от его деления на (x– 2)(x– 3) — через Q(x), то мы сможем воспользоваться определением деления
8.13. Если многочлен x4 + 1 разделится на x^2 + рx + q, то в частном мы получим многочлен второй степени, т. е. x^2 + аx + b.
8.14. Если данный многочлен делится на (x– 1)^3, то после замены x– 1 = у получим многочлен, который должен делиться на у^3.
8.15. Если многочлен четвертой степени с коэффициентом 6 при старшем члене делится на x^2 - x + q без остатка, то в частном обязательно получится многочлен 6x^2 + аx + b, в котором а и b определяются одновременно с p и q.
K главе 9
9.1. Точки -2, -1, 0 делят числовую ось на четыре интервала, в каждом из которых нужно решить данное уравнение. (!)
9.2. Если рассматривать значения x, обращающие в нуль числа, стоящие под знаками абсолютных величин, то придется разбить числовую ось на пять частей.
Удобнее ввести новое неизвестное у = x^2. (!)
9.3. Это уравнение четвертой степени. Следовательно, нужно найти искусственный прием, приводящий к его решению. Удобно воспользоваться тем, что слева стоит сумма квадратов.
9.4. Возвести в куб и сравнить полученное уравнение с данным.
9.5. Свести уравнение к симметрической системе, обозначив первое слагаемое левой части через u, а второе через v. (!)
9.6. Если под радикалами раскрыть скобки, то получим квадратные трехчлены, отличающиеся лишь свободным членом. Поэтому данное в условии уравнение удобно заменить системой, обозначив первое слагаемое его левой части через u, а второе через v.
9.7. Поскольку неизвестное входит в уравнение либо в сочетании x– b, либо в сочетании а– x, то удобно ввести обозначения
9.8.
9.9. Перенести
9.10. Чтобы избавиться от знаков абсолютной величины, можно поступить двояко: либо потребовать, чтобы правая часть уравнения была неотрицательной, и решить уравнения
x^2 - 3x/2– 1 = -x^2 - 4x + , x^2 - 3x/2– 1 = x^2 + 4x– ;
либо рассмотреть два случая: в первом выражение, стоящее под знаком абсолютной величины, неотрицательно, а во втором — отрицательно.
9.11. Рассмотреть различные случаи расположения x и у по отношению к нулю (всего придется рассмотреть четыре случая). (!)
9.12. Решить систему уравнений с параметром k, а затем решить систему неравенств. (!)
9.13. Рассмотреть различные случаи взаимного расположения чисел x и у и чисел x и -у. Это позволит раскрыть знаки абсолютной величины. (!)
9.14. Второе уравнение — уравнение окружности радиуса а . Нарисовать кривую, которая определяется первым уравнением.
9.15. Одно решение очевидно: x = у = 0. Если ху /= 0, то можно разделить первое уравнение на ху, а второе на x^2у^2.
9.16. Если бы во втором и третьем уравнениях не было коэффициентов 2 и 3, то уравнения системы получались бы друг из друга с помощью циклической перестановки неизвестных x, у и z. Однако влияние коэффициентов оказывается столь сильным, что попытка использовать это свойство системы не приводит к успеху. Попытайтесь преобразовать систему в распадающуюся, для чего потребуется отыскать алгебраическое выражение, общее для двух уравнений, и исключить его.
9.17. Если первое уравнение системы записать в виде x + у = -z и возвести в квадрат, то с помощью второго ее уравнения можно найти ху.
9.18. Сопоставьте первое и последнее уравнения. Если записать их в виде
x + у = 1 - z, х^3 + у^3 = 1 - z^3,