Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
6.14. Нужно правильно использовать условие, в силу которого x и у — целые. Однородное выражение относительно неизвестных нужно оставить слева и попытаться разложить на множители, а число 17 перенести в правую часть равенства.
6.15. Данное уравнение таково, что если x = а, у = b — его решение, то существуют еще три решения: (-а, b), (а, -b), (-а, -b),
6.16. Преобразовать исходное условие к виду 11(4x– 1) = 69(у– x) и воспользоваться тем, что x и у — натуральные числа.
K главе 7
7.1. Обе двойки представить как 3 - 1 и сгруппировать члены так, чтобы в числителе можно было вынести за скобки n + 1, а в знаменателе n– 1.
7.2. Прежде чем выполнять действия в скобках, следует упростить дроби, разложив числители и знаменатели на множители.
7.3. Перед нами сумма из трех слагаемых. Если первые два привести к общему знаменателю, то в числителе произойдут существенные упрощения.
7.4. Прежде чем производить вычитание, следует упростить дробь.
7.5. Если вынести за скобки х2m, то в скобках останется x в степени, содержащей множителями m– n и 1/mn . Это упростит дальнейшие преобразования. (!)
7.6. Каждое из подкоренных выражений является полным квадратом.
7.7. Обратить внимание на то, что
9 + 42 = 8 + 42 + 1 = (22 + 1)^2.
7.8. Каждую из вторых скобок разбить на два слагаемых x^2 - u^2 и z^2 - у^2, после чего собрать все члены, содержащие множитель x^2 - u^2, и все члены, содержащие z^2 - у^2. (!)
7.9. Если обозначить левую часть через z, то, освобождаясь от радикалов, можно получить уравнение относительно z.
7.10. Равенство, которое нужно доказать, представляет собой однородное выражение седьмой степени. Возвести в степень
а + b + с = 0 и а + b = -с.
7.11. Задача сводится к разбору случаев, позволяющих раскрыть знаки абсолютной величины. Количество рассматриваемых случаев можно уменьшить, если заметить, что равенство, о котором идет речь, не меняется при замене x на -x.
7.12. Можно разобрать различные случаи взаимного расположения
7.13. Условие можно записать в виде а 1/3 + b 1/3 = -с 1/3 и возвести это соотношение в куб.
7.14. Данный трехчлен тождественно равен выражению
(ax + b)^3 - (сх + d)^3, где а > 0, b > 0, с > 0, d > 0.
K главе 8
8.1. Поскольку выражения, стоящие в скобках, расположены симметрично относительно значения x = 5, удобно ввести новое неизвестное у = x– 5. После того как мы раскроем скобки, произойдут значительные упрощения. (!)
8.2. Можно перемножить скобки по две, чтобы получить квадратные трехчлены, отличающиеся только свободным членом.
8.3. Если записать уравнение в виде x^2 - 17 = 3у^2, то возникает мысль доказать, что левая часть ни при каких целых x не делится на 3. (!)
8.4. Если целое у зафиксировать, то получим квадратное уравнение относительно x. Поэтому естественно обратить внимание на те ограничения, которые накладывает на у условие неотрицательности дискриминанта этого уравнения. (!)
8.5. Остаток следует искать в виде аx + b, а частное удобно обозначить через Q(x). Следуя определению деления, записать тождество.
8.6. Если переписать уравнение в виде
то благодаря условию целочисленности решений можно ограничить возможные значения у рассмотрением нескольких случаев.
8.7. Если подставить известный корень в уравнение, найти коэффициенты при рациональной и иррациональной частях, то получим систему двух уравнений для определения а и b.
8.8. Ответьте на вопрос: достаточно ли воспользоваться теоремой Виета, в силу которой свободный член и второй коэффициент должны быть положительными?
8.9. Если обозначить первый корень через x1, а знаменатель прогрессии через q, то останется применить теорему Виета. (!)
8.10. С помощью теоремы Виета получить зависимость между 1, 2, 3 и коэффициентами данного уравнения. (!)