Сочинения
Шрифт:
20. У меня нет разногласий с вами относительно ваших выводов, они у меня есть только относительно вашей логики и метода. Как вы проводите доказательство? С какими предметами вы хорошо знакомы и ясно ли вы их себе представляете? На основе каких принципов вы действуете, насколько они правильны, и как вы их применяете? Необходимо помнить, что меня интересует не истинность ваших теорем, а только способ их доказательства, законный он или незаконный, ясный или туманный, теоретический (scientific) или экспериментальный. Чтобы избежать всякой возможности вашего неправильного суждения обо мне, я прошу разрешения повторить и я вновь настаиваю, что я рассматриваю геометра-аналитика как логика, т. е. то, каким образом он рассуждает и доказывает, а его математические выводы рассматриваю не сами по себе, а в их посылках, не в отношении того, являются ли они истинными или ложными, полезными или не имеющими значения, а лишь каким образом они выводятся из таких принципов и при помощи таких приемов выведения. А поскольку может показаться необъяснимым парадоксом, что математики выводят правильные положения, исходя из ложных принципов, могут прийти к правильному выводу и тем не менее ошибаться в посылках, я попытаюсь конкретно объяснить, почему это может произойти, и покажу, как ошибка может породить истину, хотя не может породить науку.
377
21. Следовательно, для того чтобы выяснить это положение, предположим, например, что надо провести касательную к параболе, и рассмотрим решение этой задачи при наличии бесконечно малых дифференциалов. Пусть АВ — кривая, абсцисса АР=х, ордината РВ=у, приращение абсциссы PM=dx, приращение ординаты RN=dy. Теперь допустим, что кривая представляет собой многоугольник и, следовательно, BN, приращение, то есть разность кривой, является отрезком прямой, совпадающим с касательной, а дифференциальный треугольник BRN подобен треугольнику ТРВ, тогда подкасательная РТ будет четвертым членом пропорции RN: RB = РВ..., т.е. dy : dx = y... Отсюда подкасательная будет равна y dx/dy.
Но здесь и содержится ошибка, возникшая в результате вышеупомянутого допущения, не соответствующего действительности, вследствие чего величина РТ получается больше, чем она есть на самом деле: ибо в действительности не треугольник RNB подобен РВТ, а треугольник RLB, и поэтому первым членом пропорции должен быть не RN, a RL, т. е. RN+NL, т. е. dy+z; отсюда истинным выражением для подкасательной должно было бы быть y dx/dy+z. Следовательно, когда dy было сделано делителем, была допущена ошибка, так как была взята меньшая, чем на самом деле, величина, и эта ошибка равнялась z, т. е. NL, отрезку, заключенному между кривой и касательной. Далее, в соответствии с характеристикой кривой, уу=рх, где р — параметр, отсюда в соответствии с правилом дифференцирования 2y dy=p dx и dy= p dx/2y. Но если умножить (y+dy) само на себя и сохранить все произведение, не отбрасывая площадь дифференциала, тогда, если подставить возросшие величины в уравнение кривой, окажется,
378
что действительно . Следовательно, была допущена ошибка, когда сочли, что , приведшая к увеличению истинного значения и вытекающая из ошибочного правила дифференцирования. и величина этой второй ошибки Следовательно, обе ошибки равны друг другу и взаимно уничтожаются; первая ошибка, приведшая к уменьшению истинного значения выражения, исправлена второй ошибкой, увеличивающей его значение.
22. Если допустить только одну ошибку, не найдешь правильного решения задачи. Но благодаря двойной ошибке доходишь до истины, хотя и не до науки. Ибо нельзя назвать наукой тот путь, при котором двигаешься вслепую и добираешься до истины, не зная как и при помощи каких средств. Для доказательства равенства обозначим BR или dx как m, a RN или dy как n. На основании 33-й теоремы первой книги «Конусов» [грека] Аполлония [9] и подобия треугольников следует, что 2х : у, как . Аналогично из характеристики параболы следует, что (уу+2у n+ nn)=хр+ mр, а 2у n+ nn= mр; вследствие чего и поскольку будет равно х. Следовательно, подставляя эти значения вместо mи х, мы получим
что после сокращения дает что и требовалось доказать.
23. Теперь я прежде всего замечу, что итог получается правильным не потому, что отброшенная площадь dyбыла бесконечно мала, а потому, что эта ошибка была компенсирована другой, противоположной по своему характеру, но равной ошибкой. Во-вторых, замечу: что бы ни было отброшено, как бы мало оно ни было, если бы оно было действительным и, следовательно, составляло реальную ошибку в посылках, оно вызвало бы соответ-
379
ственную ошибку в итоге. В силу этого ваши теоремы не могут быть непогрешимо правильными, а ваши задачи — точно решенными, так как сами посылки не точны; в логике является правилом: conclusio sequitur partem debiliorem [10]. Поэтому замечу, в-третьих: когда заключение очевидно, а посылки неясны или когда заключение точно, а посылки неточны, мы можем совершенно свободно заявить, что такое заключение очевидно или точно не в силу
упомянутых неясных неточных посылок или принципов, а в силу некоторых иных принципов, о которых сам автор доказательства, возможно, вообще не знал и не думал. Наконец, замечу: если предположить, что дифференциалы являются конечными величинами, значение которых может быть и очень велико, то и в этом случае итог тем не менее будет прежним ввиду того, что отброшенные величины игнорируются на законном основании, — не потому, что малы, а по другой причине, а именно из-за противоположных по характеру ошибок, которые, взаимно уничтожаясь, в целом приводят к тому, что в действительности ничего не отбрасывается, хотя по видимости что-то отвергается. и эта причина в равной степени действительна в отношении величин конечных и бесконечно малых, больших и маленьких, как фута и ярда, так и наименьшего приращения.
24. Чтобы более полно проиллюстрировать это положение, я рассмотрю его в несколько ином свете и, оперируя вплоть до самого заключения конечными величинами, буду использовать тогда только одну бесконечно малую величину. Положим, что прямая MQ пересекает кривую
380
AT в точках R и S. Положим, что LR — касательная в точке R, AN — абсцисса, NR и OS — ординаты. Продолжим AN до пересечения с О и проведем RP параллельно NO. Положим, что AN= x, NR= y, NO= v, PS= z, поднормаль (subsecant) MN= s. Пусть уравнение y=xxвыражает характеристику кривой; предположив, что уи хвозрастают на конечное приращение, мы получаем:
у + z = хх+2xv+ vv;
отсюда, после вычитания предыдущего уравнения, остается z=2xv+vv. На основании подобия треугольников
подставив сюда вместо уи zих значения, мы получаем:
Если предположить, что NO уменьшено до величины бесконечно малой, поднормаль NM будет в этом случае совпадать с подкасательной NL, а v, как величина бесконечно малая, может быть отброшена, отсюда S=NL= , что и является истинным значением подкасательной. и поскольку при его получении была допущена только одна ошибка, т. е. однажды отброшена только одна бесконечно малая величина, то может показаться в противоположность тому, что говорилось ранее, будто можно пренебречь бесконечно малой величиной, или дифференциалом, отбросить его, и тем не менее итог будет истинным и точным, хотя и не была допущена двойная ошибка, т. е. не было исправления одной ошибки при помощи другой, как это имело место в первом случае. Но если тщательно рассмотреть это положение, мы обнаружим, что даже в данном случае допускается двойная ошибка и одна из них компенсирует или исправляет вторую. Ибо, во-первых, мы предполагали, что, когда NO уменьшается до бесконечно малой величины или становится бесконечно малой величиной, тогда поднормаль NM становится равной подкасательной NL. Но это очевидная ошибка, ибо совершенно ясно, что, поскольку секущая не может быть касательной, поднормаль не может быть подкасательной. Пусть разность будет очень мала, все же она будет. А если NO — бесконечно малая величина, даже тогда будет на-
381
лицо бесконечно малая разность между NM и NL. В силу этого NM или S было слишком мало для вашего допущения (когда вы допускали, что оно равно NL) и эта ошибка была компенсирована второй ошибкой, состоявшей в отбрасывании v, и в результате этой последней ошибки s стала больше, чем ее истинное значение, и вместо него дала значение подкасательной. Таково истинное положение вещей в нашем случае, каким бы замаскированным он ни был. и к этому он сводится в действительности и в основе своей остается тем же самым, даже если мы позволим себе найти подкасательную, сначала определив с помощью уравнения кривой и подобных треугольников общее выражение для всех поднормалей, а затем подведя подкасательную под это общее правило, считая ее поднормалью, когда v приближается к нулю или становится равным ему.
25. По поводу всего примера в целом я замечу, во-первых, что vвообще не может быть равным нулю, поскольку имеется секущая. Во-вторых, одна и та же прямая не может быть и касательной, и секущей. В-третьих, когда vили NO * приближается к нулю, PS и SR также приближаются к нулю, а с ними и пропорциональность подобных треугольников. Следовательно, все выражение, полученное с помощью этой пропорциональности и на ней основанное, приближается к нулю, когда приближается к нулю v. В-четвертых, способ нахождения секущих или их выражения, каким бы общим он ни был, не может с точки зрения здравого смысла распространяться за пределы нахождения именно всех секущих; и поскольку он необходимо предполагает наличие подобных треугольников, то в тех случаях, когда подобных треугольников нет, его применение нельзя даже предполагать. В-пятых, поднормаль всегда будет меньше подкасательной и никогда не может с ней совпадать; допускать подобное совпадение было бы абсурдно, ибо это означало бы допускать, что одна и та же прямая в одно и то же время пересекает и не пересекает другую данную линию; это представляет собой очевидное противоречие, подрывающее гипотезу и служащее доказательством ее ложности. В-шестых, если это доказательство не будет признано, я потребую, чтобы мне назвали причину, почему не это, а какое-либо иное апагогическое доказательство, или доказательство ad absurdum, признано в геометрии, или же между моим доказательством