Сочинения
Шрифт:
388
33. Но тогда следует не забывать, что в таком случае, хотя вы можете сойти за художника, вычислителя или аналитика, вас по справедливости нельзя было бы считать человеком науки, основывающим свои мнения на строгом доказательстве. Никто не должен так же, только в силу того, что он хорошо разбирается в таком туманном анализе, воображать, что его умственные способности более развиты, чем у тех, кто упражнял их каким-либо иным образом и в отношении других предметов, и тем более не ставить себя на роль судьи и оракула в отношении вопросов, которые никак не связаны с теми образами, символами или знаками, которыми он так ловко и умело распоряжается, являясь специалистом в атом деле, и от которых другие вопросы совершенно не зависят. Вас, например, искусного вычислителя и аналитика, возможно, в силу вышеизложенного, могут не считать искусным в анатомии, или vice versa [14]: человек, искусно рассекающий трупы, тем не менее может быть не сведущим в вашем искусстве вычисления; а вы оба вместе, несмотря на то что необыкновенно искусны каждый в своем соответствующем деле, в равной мере не компетентны решать вопросы, относящиеся к логике, метафизике, этике, религии. и так оно и будет, даже если признать, что вы понимаете свои собственные принципы и можете их доказывать.
34. Если скажут, что флюксии можно объяснить или выразить при помощи отрезков прямых, им пропорциональных; что поскольку эти отрезки можно отчетливо воспринять, познать и на них можно основываться, то их можно подставить вместо флюксий, а их отношения, или пропорции, рассматривать как пропорции флюксий; что благодаря такому приему теория флюксий становится ясной и полезной, — на это я отвечу: для того чтобы получить эти конечные прямые, пропорциональные флюксиям, необходимо предпринять определенные неясные шаги, которые представить себе невозможно; и пусть эти конечные прямые сами по себе воспринимаются очень ясно, тем не менее необходимо признать, что ход ваших рассуждений не ясен, а ваш метод не научен. Например, положим, что АВ — абсцисса, ВС — ордината, a VCH — касательная к кривой АС; Вb или СЕ — приращение абсциссы, Еc — приращение ординаты, которая, будучи продолжена, пересекает VH в точке Т, а Сс — приращение кривой. Если прямую Сс продолжить до К, образуется три небольших треугольника — прямолинейный СЕс, треугольник со смешанными прямо- и криволинейными сторонами СЕс и прямолинейный треугольник СЕТ. Очевидно, что эти три треугольника отличаются друг от друга: прямолинейный
389
треугольпик СЕс меньше треугольника СЕс со смешанными прямо- и криволинейными сторонами, которые представляют собой три вышеупомянутых приращения; в свою очередь последний меньше треугольника СЕТ. Допустим, что ордината bc перемещается на место ВС, так что точка с совпадает с точкой С, а прямая СК и, следовательно, кривая Сс совпадает с касательной СН. В таком случае треугольник СЕс со смешанными криво- и прямолинейными сторонами, приближающийся к исчезновению, в своей последней форме будет подобен треугольнику СЕТ, а его приближающиеся к нулю стороны СЕ, Еc, Сс будут про-
порциональны СЕ, ЕТ, СТ — сторонам треугольника СЕТ. и в силу этого делается вывод, что флюксии отрезков АВ, ВС и АС, входящие в последнее отношение их исчезающих приращений, пропорциональны сторонам треугольника СЕТ, или, что одно и то же, сторонам треугольника VBC, ему подобного *. Великий автор данного анализа специально замечает и особенно настаивает на том, что точки С и с не должны отстоять друг от друга ни на какой самый малейший интервал, но что для нахождения окончательных пропорций отрезков СЕ, Еc и Сс (т. е. отношения флюксий или скоростей), выраженных конечными сторонами треугольника VBC, точки Сиc должны точно совпадать друг с другом, т. е. быть одной и той же точкой. Следовательно, точка рассматривается как треугольник или же допускается, что в точке образуется треугольник. Понять это представляется совершенно невозможным. Однако находятся люди, которые недовольно морщатся, сталкиваясь с какими-либо непостижимыми тайнами у всех других, в то же время не видят ничего трудного в таких же непостижимостях у себя самих, которые подавятся комаром, но проглотят верблюда.
* Introduct. ad «Quad. Curv.» [15].
390
35. Я не знаю, стоит ли особо отметить, что, может быть, некоторые надеются оперировать символами и допущениями, дабы избежать применения флюксий, [механических] моментов и бесконечно малых величин, действуя с помощью следующею метода. Пусть х — абсцисса кривой, а z — еще одна абсцисса той же самой кривой. Положим так/не, что соответствующие площади равны ххх и zzz, что (z — х) — приращение абсциссы, a (zzz — — ххх) — приращение площади, не обращая внимания на то, насколько велики или малы пи приращения. Разделим теперь (zzz — ххх) на (z — х) и получим частое (zz+zx+-хх); если допустим, что z х, тогда это же самое частное будет равно 3 хх, что в каком случае и будет значением ординаты; таким образом, последнее можно найти независимо от флюксий и бесконечно малых величин. Но здесь прямая подтасовка: ибо, во-первых, мы полагаем, что абсциссы x и z не равны между собой, и без такого предположения нельзя было бы сделать ни одного шага; а во-вторых, мы допускаем, что те же абсциссы равны, а это явная непоследовательность, и это равнозначно тому, что уже рассматривалось ранее *. И, действительно, есть основания опасаться, что все попытки поставить эту трудную для понимания и точную геометрию на верный фундамент и избежать теории скоростей, механических моментов и т. п. окажутся бесплодными до тех пор, пока предмет и цель геометрии не будут поняты лучше, чем, как представляется, понимали до сих пор. Великий автор метода флюксий чувствовал эту трудность и поэтому пустился во все эти изящные (nice) абстракции и геометрическую метафизику, без которых, как он понимал, ничего нельзя сделать на основе общепринятых принципов, и читатель сам может судить, что у него из всею этого получилось в смысле доказательства. Правда, надо признать, что он использовал флюксии, подобно лесам при строительстве здания, которые нужно было отбросить в сторону или от которых нужно было избавиться, когда уже было найдено, что конечные линии пропорциональны эгим флюксиям. Но ведь эти конечные показатели определяются с помощью флюксий. Поэтому все, что получается с помощью таких показателей и пропорций, необходимо отнести за счет флюксий, которые, следовательно, предварительно надо понять. А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений. А что такое эти самые исчезающие приращения? Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули. Разве мы не имеем права назвать их призраками (ghosts) исчезнувших величин?
* § 15.
391
36. Люди слишком часто внушают самим себе и другим, будто они представили себе и поняли явления, выраженные при помощи знаков, тогда как в действительности они не имеют о них ни малейшего представления, а понимают только сами знаки. и есть основания опасаться, что именно так обстоит дело в данном случае. Скорости исчезающих или же зарождающихся величин могут выражаться
как конечными отрезками определенной величины, так и алгебраическими символами, но я подозреваю, что многие, кто, вероятно, никогда не рассматривал этого положения и считает его само собой разумеющимся, при тщательном его изучении обнаружили бы, что не в состоянии составить какое-либо представление или какое-либо понятие об этих скоростях, вне выражения их такими конечными величинами и знаками.
Положим, прямая КР образуется при движении с постоянным ускорением какой-либо точки и за равные отрезки времени образуются неравные отрезки прямой KL, LM, MN, NO и т. д. [16] Положим также, что а, b, с, d, e и т. д. обозначают скорости точки, образующей прямую, в разные периоды частей или приращений, получаемых таким образом. Легко заметить, что каждое из этих приращений пропорционально сумме скоростей, которыми оно образуется; что, следовательно, полученные несколько сумм скоростей, образованных за равные отрезки времени, могут быть изображены соответственно отрезками KL, LM, MN и т. д., образованными за те же промежутки времени. В равной мере легко сказать, что последняя скорость, образованная за первую частицу времени, может быть выражена символом а, последняя за вторую — b, последняя, образованная за третью, — с и т. д.; что а — скорость LM в statu nascendi, а b, с, d, е и т. д. — скорости приращений MN, NO, OP и т. д. в соответствующих со-
392
стояниях их зарождения. Можно пойти дальше и считать сами эти скорости текущими (flowing) или возрастающими величинами, взяв скорости скоростей и скорости скоростей скоростей, т. е. первые, вторые, третьи и т. д. скорости ad infinitum; этот последовательный ряд скоростей может быть выражен следующим образом:
Можно назвать их первыми, вторыми, третьими, четвертыми флюксиями. А с целью более удобного выражения можно обозначить переменную текущую прямую KL, KM, KN ит. д. буквой х,а первые флюксии вторые — третьи — и т. д. ad infinitum.
37. Нет ничего легче, как указать названия, символы или выражения для этих флюксий, не трудно также высчитывать и производить действия с помощью таких знаков. Но гораздо более трудным оказывается опустить эти знаки и тем не менее сохранить в наших умах то, что, по нашему предположению, они означают. Рассматривать показатели, будь то геометрические, алгебраические или флюксионные, не трудно. Но, например, составить точное представление о скорости третьего порядка, самой по себе и при помощи ее самой, — Hoc opus, hic labor [17]. Нелегко также составить ясное и четкое представление вообще о любой скорости вне связи со всякой протяженностью во времени и пространстве и в отрыве от нее, а также от всех обозначений, знаков и символов; если же мне позволят судить о других по себе, это просто невозможно. Мне представляется очевидным, что измерения и знаки абсолютно необходимы для того, чтобы понять скорости и рассуждать о них, и что, следовательно, когда мы хотим представить себе скорости просто и сами по себе, нас вводят в заблуждение пустые абстракции.
38. Может быть, некоторые люди вообразят, что было бы легче понимать флюксии, если предположить, что они являются скоростями, с помощью которых образуются бесконечно малые приращения, так что первые флюксии будут скоростями первых приращений, вторые флюксии будут скоростями вторых приращений, третьи флюксии — скоростями третьих приращений и т. д. ad infinitum. Но, не говоря уже о непреодолимой трудности признания или понимания бесконечно малых величин и бесконечно малых взятых от бесконечно малых величин и т. д., ясно, что такое понятие о флюксиях не будет соответствовать