Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
В теории электричества и магнетизма, принятой в настоящем трактате, признается существование двух видов энергии - электростатической и электрокинетической (см. п. 630 и 636), и предполагается, что они локализованы не только в наэлектризованных или намагниченных телах, но и в каждой части окружающего пространства, где обнаруживается действие электрической или магнитной силы. Следовательно, наша теория согласуется с волновой теорией в том, что обе они предполагают существование среды, способной стать вместилищем двух видов энергии 1 .
1
783. Определим теперь условия распространения электромагнитных возмущений через однородную среду, которую мы будем считать покоящейся, т.е. не имеющей никакого движения, кроме того, которое может быть включено в электромагнитные возмущения.
Пусть C будет удельная проводимость среды, K - её удельная ёмкость для электростатической индукции и - её магнитная «проницаемость».
Чтобы получить общие уравнения для электромагнитного возмущения, мы должны выразить истинный ток C через вектор-потенциал A и электрический потенциал .
Истинный ток C состоит из тока проводимости R и изменения электрического смещения D поскольку оба они зависят от электродвижущей напряжённости E мы находим, как в п. 611,
C
=
C
+
1
4
K
d
dt
E
.
(1)
Поскольку движение среды отсутствует, мы можем выразить электродвижущую напряжённость, как в п. 599:
E
=-
A
–
.
(2)
Следовательно,
C
=-
C
+
1
4
K
d
dt
dA
dt
+
.
(3)
Но мы можем определить связь между C и A другим способом, как показано в п. 616, приведённые там уравнения (4) можно записать в виде
4C
=
^2A
+
J
(4)
где
J
=
dF
dx
+
dG
dy
+
dH
dz
.
(5)
Объединяя уравнение (3) и (4), мы получаем
4C
+
K
d
dt
dA
dt
+
+
^2A
+
J
=
0,
(6)
что
4C
+
K
d
dt
dF
dt
+
d
dx
+
^2F
+
dJ
dx
=
0,
4C
+
K
d
dt
dG
dt
+
d
dy
+
^2G
+
dJ
dy
=
0,
4C
+
K
d
dt
dH
dt
+
d
dz
+
^2H
+
dJ
dz
=
0,
(7)
Это общие уравнения для электромагнитных возмущений.
Если мы продифференцируем эти уравнения по x, y и z соответственно и сложим, то получим
4C
+
K
d
dt
dJ
dt
–
^2
=
0.
(8)
Если среда непроводящая, то C=0, а член ^2, пропорциональный объёмной плотности свободного электричества, не зависит от t. Следовательно, величина J должна быть либо линейной функцией t, либо постоянной, либо нулём; поэтому при рассмотрении периодических возмущений мы можем не учитывать J и .
Распространение волн в непроводящей среде
784. В этом случае C=0, и уравнения принимают вид
K
d^2F
dt^2
+
^2F
=
0,
K
d^2G
dt^2
+
^2G
=
0,
K
d^2H
dt^2
+
^2H
=
0.
(9)
В этом виде уравнения сходны с уравнениями движения несжимаемого упругого твёрдого тела, и при заданных начальных условиях их решение можно выразить в форме, данной Пуассоном 2 и применённой Стоксом 3 к теории дифракции.