Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир
Шрифт:
Этот отель всегда заполнен, но в нем неизменно остается один свободный номер.
В отеле Гильберта не просто сотни номеров, в нем их бесчисленное множество. Всякий раз, когда прибывает новый постоялец, менеджер переселяет обитателя номера 1 в номер 2; обитателя номера 2 в номер 3 и т. д. Это освобождает номер 1 для нового постояльца и обеспечивает номерами всех остальных (правда, создавая им определенные неудобства при переезде).
Теперь предположим, что приехало бесконечно много новых, причем чем-то раздраженных постояльцев. Это не проблема. Невозмутимый менеджер перемещает обитателя номера 1 в номер 2, из номера 2 в номер 4,
Вечером того же дня бесконечная вереница автобусов с грохотом подъезжает к стойке регистрации. Их бесконечно много, и, что еще хуже, каждый заполнен бесконечным множеством ворчащих людей, требующих, чтобы отель соответствовал своему девизу: «В отеле Гильберта всегда есть свободные номера».
Менеджер раньше уже сталкивался с такой проблемой и запросто решает ее.
Сначала он проводит трюк удвоения. Это позволяет заселить новых постояльцев в четные номера и освободить все нечетные — хорошее начало, потому что теперь он имеет бесконечное число свободных номеров.
Но достаточно ли этого? Хватит ли нечетных номеров для размещения орд новых постояльцев? Кажется маловероятным, поскольку есть нечто вроде квадратной бесконечности людей, скандалящих из-за этих номеров. (Почему квадратной? Потому что каждый из бесконечного числа автобусов привез бесконечное число пассажиров. Общее количество людей составляет бесконечность, умноженную на бесконечность, чтобы это ни значило).
Вот где логика при работе с бесконечностью становится очень странной.
Чтобы понять, как менеджер собирается решать последнюю задачу, следует визуализировать всех людей, которых он должен поселить.
Конечно, мы не можем показать здесь буквально всех, так как в этом случае диаграмма должна быть бесконечной в обоих направлениях. Но окончательный вариант картинки будет соответствующим. Дело в том, что любой конкретный пассажир автобуса (скажем, ваша тетя Инесс из Луисвилля) обязательно появится где-то на диаграмме, когда мы включим в нее достаточное количество строк и столбцов. В этом смысле каждый пассажир каждого автобуса учтен. Вы называете его имя, и он (или она) обязательно отобразится на некотором конечном количестве шагов к востоку и югу от северо-западного угла картинки.
Задача менеджера — на основании этой диаграммы выработать систему. Он должен построить схему распределения номеров между постояльцами таким образом, чтобы каждый получил свой номер после того, как будет заселено конечное число других людей.
К сожалению, предыдущий менеджер не понял этого, и начался хаос. Когда приезжала очередная колонна автобусов, он так волновался, пытаясь быстро расселить пассажиров первого автобуса, что у него не оставалось времени на яростно кричащих пассажиров других автобусов. На диаграмме ниже проиллюстрирована эта недальновидная стратегия, путь которой всегда соответствовал бы пути на восток вдоль строки 1.
Однако новый менеджер все взял под контроль. Вместо движения вдоль первой строки (обслуживая только первый автобус) он двигался из угла по зигзагообразной схеме, как показано ниже.
Он
Надеюсь, тактика менеджера — двигаться от одной диагонали у другой — достаточно очевидна. Нетрудно догадаться, что очередь до любого конкретного человека дойдет за конечное число шагов.
Итак, в отеле Гильберта действительно всегда есть свободные места.
Доказательство, которое я только что представил, — известный аргумент из теории бесконечных множеств. Кантор использовал его, чтобы доказать, что положительных дробей ровно столько (соотношений p/q, где p и q — положительные целые числа), сколько и натуральных чисел (1, 2, 3, 4, ...). Это гораздо более сильное утверждение, чем то, что оба множества бесконечны. Оно говорит о том, что они бесконечны точно в той степени, в какой между ними может быть установлено взаимно-однозначное соответствие.
Вы можете рассматривать это соответствие как систему напарников, в которой каждое натуральное число состоит в паре с некоей положительной дробью, и наоборот. Кажется, что наличие такой системы противоречит здравому смыслу. Это своего рода софистика, приведшая Пуанкаре в ужас. Ибо она предполагает, что мы могли бы сделать исчерпывающий перечень всех положительных дробей, хотя самой маленькой дроби не существует!
И все же есть такой список. Мы его уже нашли. Дробь p/q, в которой пассажиру p соответствует автобус q, а представленное выше доказательство показывает, что каждая из этих дробей может составить пару с определенным натуральным числом 1, 2, 3, …, представляющим собой номер комнаты пассажира в отеле Гильберта.
Позже Кантор также доказал, что взаимно однозначного соответствия между этими парами быть не может. Поскольку множество действительных чисел, лежащих между 0 и 1, неисчислимо и не может быть поставлено в однозначное соответствие с натуральными числами. Для гостиничного бизнеса это означает, что, если все вещественные числа появятся у стойки администратора и начнут звонить в колокольчик, для них не хватит свободных номеров даже в отеле Гильберта.
Докажем это утверждение от противного. Допустим, каждому действительному числу можно дать собственную комнату. Тогда реестр жильцов, которые определены десятичными дробями, и список номеров комнат будут выглядеть примерно так:
Номер 1: 0,6708112345...
Номер 2: 0,1918676053...
Номер 3: 0,4372854675...
Номер 4: 0,2845635480...
Помните, список должен быть полным. Каждое действительное число между 0 и 1 должно появиться в каком-то конечном месте реестра.
Кантор показал, что в подобном перечне отсутствует много чисел. Вот это и есть противоречие. Например, чтобы построить число, которое нигде не появляется в представленном выше списке, спуститесь по диагонали и составьте новое число из подчеркнутых цифр: