Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир
Шрифт:
При следующих трех способах действительно придется переворачивать матрас. Чтобы различать их, приклеим на углы матраса этикетки с номерами.
Картинка, на которой изображен первый способ переворачивания, находится в начале главы. На ней симпатичный мужчина в полосатой пижаме пытается перевернуть матрас на 180 градусов. Этот горизонтальный переворот обозначим как H.
Вертикальный переворот
Наконец, можно повернуть матрас на пол-оборота, не поднимая его с кровати.
В отличие от переворачиваний H и V, при повороте R верхняя поверхность матраса остается вверху.
Теперь посмотрим на матрас, чтобы понять, в чем разница между его переворотами. Представим себе, что он полупрозрачный, взглянем на него сверху и проверим числа в углах матраса после каждой из возможных трансформаций. При горизонтальном переворачивании получаем зеркальное отражение чисел. Они тоже изменили порядок, поскольку числа 1 и 2 и 3 и 4 поменялись местами.
При вертикальном переворачивании порядок чисел тоже изменился, но по-другому: они, помимо своего зеркального отражения, еще и перевернулись вверх тормашками.
При вращении зеркального отражения не получается, а числа повернулись кверху вниз, и там, где была 1, теперь 4, а вместо 2 появилось 3.
Однако это лишь детали. Самое главное — как эти преобразования соотносятся друг с другом. В схемах их взаимодействия зашифрована симметрия матраса.
Чтобы выявить их с минимальными усилиями, нарисуем следующую диаграмму.
В углах схемы изображены четыре возможных положения матраса. Картинка в левом верхнем углу является точкой отсчета. Стрелка указывает на движения, совершаемые матрасом при переходе из одного положения в другое.
Например, стрелка, ведущая из верхнего левого угла к нижнему правому, описывает вращение R. Она двусторонняя, поскольку, если выполнить действие R дважды, это будет равносильно возврату в исходное положение.
Данное свойство поворота можно описать уравнением RR = I, где RR означает «дважды выполнить действие R», а I является нейтральным элементом, означающим отсутствие действия. При горизонтальном и вертикальном переворачивании тоже происходит отмена этих преобразований: HH = I и VV = I.
На
Следует также отметить, что порядок выполнения действий не имеет значения, поскольку HR = RH, и оба пути ведут к V. Это верно для любой другой пары действий. Вы можете подумать, что это подобно коммутативному (переместительному) закону для сложения обычных чисел x и y, согласно которому x + y = y + x. Однако будьте внимательны: группа в примере с матрасом — особый случай. Во многих других группах коммутативный закон нарушается. Подчиняющиеся ему группы-счастливчики будут особенно понятными и простыми.
А теперь итоги. Эта схема показывает, как добиться наиболее равномерного изнашивания матраса. Любая стратегия, примененная для всех четырех состояний, будет периодически работать. Например, чередование действий R и H удобно, а поскольку у нас есть возможность миновать шаг V, то нам не требуется много физических усилий. Чтобы напомнить о необходимости выполнять эти действия, некоторые производители дают такой совет: «весной — поворот, осенью — переворот».
Группа чисел, свойственная матрасу, иногда всплывает в самых неожиданных местах, начиная от симметрии молекул воды и заканчивая принципами действия пары электрических переключателей. В этом и состоит прелесть теории групп. Благодаря ей становится очевидным единство вещей, которые в других случаях кажутся не связанными между собой — как в анекдоте о том, как физик Ричард Фейнман получил отсрочку от призыва в армию123.
Армейский психиатр попросил Фейнмана вытянуть вперед руки. Тот выполнил просьбу, выставив одну руку ладонью вверх, а вторую ладонью вниз. «Нет, по-другому», — сказал психиатр. Тогда Фейнман перевернул обе руки так, что одна ладонь опять оказалась вверху, а вторая внизу.
Фейнман не играл в игры разума, а просто решил немного пошутить в духе теории групп. Если рассмотреть все возможные способы вытягивания рук, а также различные переходы между ними, то стрелка образует такую же модель, как и в группе чисел матраса!
Однако все это слишком усложняет наши отношения с матрасами. Возможно, настоящий урок здесь тот, который вам и так известен: если вас что-нибудь беспокоит, ложитесь спать, и все пройдет.
27. Кручение и склеивание
В нашей местной начальной школе существует традиция приглашать в класс родителей для разговоров с детьми. Благодаря этому ребята узнают о различных профессиях и многих вещах, которым их не учат в школе.
Когда пришла моя очередь, я явился в первый класс, где училась моя дочь, с сумкой, наполненной лентами Мебиуса124. Накануне вечером мы с женой нарезали длинные полоски из бумаги и скрутили каждый из них на пол-оборота, вот так:
а затем склеили концы полосок так, чтобы получились ленты Мебиуса.