Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир
Шрифт:
Теперь мы меньше отвлекаемся на отдельные ступеньки. Кривая выглядит еще ровнее, если сосчитать все простые числа до миллиарда.
В противоположность первому впечатлению эта кривая не является прямой линией. По мере роста она слегка изгибается книзу. Такой изгиб означает, что простые числа становятся более редкими, изолированными и одинокими. Это то, что Джордано имел в виду, говоря про «одиночество простых
Такая разреженность кажется еще очевиднее, если посмотреть на данные «переписи» под другим углом. Помните, мы насчитали десять простых чисел среди первых тридцати целых чисел? Таким образом, там, где числовая прямая берет свое начало, примерно одно из трех чисел является целым, что составляет стабильные 33%. Однако среди первой сотни чисел простых только двадцать пять. Их ряды сократились до одного из четырех, составляя уже 25%, что вызывает беспокойство. А среди первого миллиарда чисел простых всего лишь 5%.
И это суровый вестник наклоняющейся кривой. Простые числа похожи на вымирающее поколение. Они никогда не исчезают полностью — со времен Евклида известно, что они никогда не заканчиваются, но почти целиком растворяются в обычных целых числах.
Найдя функции, которые приблизительно соответствуют этой наклоняющейся кривой, теоретики чисел измерили, насколько одиноки простые числа, и выразили в виде формулы типичное расстояние между ними. Если N — большое число, то средний интервал между простыми числами, ближайшими к N, приблизительно равен lnN, то есть натуральному логарифму от N. (Натуральный логарифм ведет себя так же, как и обычный десятичный логарифм, изучаемый в средней школе, но в его основе лежит число e, а не 10. Он является натуральным в том смысле, что повсюду встречается в высшей математике, входя в окружение числа e. Подробнее о повсеместном использовании числа e читайте в главе 19.)
Хотя формула lnN для вычисления среднего промежутка между простыми числами не слишком хорошо работает для малых N, ее эффективность улучшается при приближении N к бесконечности, где ошибка формулы в процентном соотношении приближается к нулю. Чтобы получить представление об этих числах, допустим, что N = 1000. Выясняется, что существует 168 простых чисел меньше 1000 и что средний промежуток между ними в этой части числовой прямой составляет 1000/68, или примерно 5,9. Для сравнения, согласно формуле средний интервал должен равняться ln(1000) 6,9, что превышает реальное значение примерно на 17%. Но если мы пойдем дальше, скажем, для N = 1 000 000 000, то реальный и вычисленный по формуле интервалы составят 19,7 и 20,7 соответственно, и разность между ними будет примерно 5%.
Формула lnN, где N стремится к бесконечности, сегодня известна как теорема простых чисел115. Она впервые была записана (но не опубликована) Карлом Гауссом116 в 1792 году, когда ему было всего пятнадцать лет. (Видите, на что способен ребенок, лишенный развлечений в виде игровой приставки?)
Что же касается других молодых людей, о которых шла речь в этой главе, Маттиа и Аличе, то, я надеюсь, вы оценили, насколько это захватывающе, что два простых числа-близнеца117 продолжают существовать в самых далеких пространствах числовой прямой, «в этом молчаливом измеренном пространстве, состоящем только их цифр». Против них ополчилась целая армия нечетных чисел. Согласно теореме простых чисел, любое отдельно взятое простое число, находящееся вблизи N, не имеет права ожидать, что его потенциальный друг приблизится к нему ближе чем на lnN и
Но все-таки некоторые пары побеждают нечетные числа. Компьютеры нашли простые числа-близнецы в невероятно отдаленных областях числовой прямой. Где-то вдали уютно устроилась самая большая известная пара двух чисел, каждое из которых состоит из 100 355 десятичных цифр.
Согласно гипотезе о простых числах, подобные пары будут появляться всегда.
Так не попробовать ли нам поискать поблизости от этих чисел еще какую-нибудь парочку простых чисел118, чтобы сообразить с ними на четверых? Удачных поисков!
26. Групповое мышление
Мы с женой спим совершенно по-разному, и это видно по нашему матрасу. Она подминает под себя подушки, всю ночь ворочается, и матрас под ней практически не вдавлен. А я сплю на спине, в позе мумии, отчего на моей стороне кровати образуется впадина.
Производители кроватей рекомендуют периодически переворачивать матрас, вероятно, имея в виду таких людей, как я. Но как это лучше сделать? Как именно его надо переворачивать, чтобы он изнашивался максимально равномерно?
Брайан Хэйес изучает эту проблему на небольшом опыте, который описывает в книге Group Theory in the Bedroom («Теория групп в спальне»). Отбросим двусмысленности, поскольку «группа», о которой пойдет речь, представляет собой совокупность математических действий, то есть всех возможных способов переворачивания или разворачивания матраса, чтобы он при этом точно совпадал с каркасом кровати.
Надеюсь, подробное рассмотрение математики матраса119 позволит вам получить более общее представление о теории групп120, одном из самых многогранных разделов математики. Эта теория лежит в основе всего — от хореографии народного танца и фундаментальных законов физики элементарных частиц до мозаики Альгамбры с ее хаотичными элементами121, показанными на этой картинке.
Как видно из этих примеров, теория групп — это связующее звено между искусством и наукой. Она обращается к тому, что является общим для этих двух областей — неизменному очарованию симметрии. Охватывая столь широкий круг явлений, теория групп неизбежно будет абстрактной. Она вскрывает саму сущность симметрии.
Обычно считается, что симметрия — свойство формы. Однако специалистов в области теории групп больше интересует, что можно сделать с формой, в частности все способы ее изменения, оставив при этом без изменений что-то другое. Точнее, они занимаются поиском всех преобразований, в результате которых форма остается неизменной при соблюдении ряда ограничений. Эти преобразования называются симметриями формы. Вместе взятые, они составляют группу, то есть совокупность изменений, чьи отношения определяют основную архитектуру формы.
В случае с матрасом преобразования приводят к изменению его положения в пространстве (в этом состоит изменение), однако при этом сохраняется его упругость (в этом состоит ограничение). В результате матрас должен идеально ложиться на каркас кровати (то, что остается неизменным). Взяв за основу перечисленные правила, рассмотрим, какие преобразования свойственны элементам этой замечательной маленькой группы. Оказывается, их всего четыре.
Первое состоит в том, чтобы ничего не делать, — отличный выбор для лентяев, предпочитающих не трогать матрас. Несомненно, такое преобразование удовлетворяет всем правилам, однако вряд ли продлит жизнь матраса. Тем не менее чрезвычайно важно включить его в группу. Оно играет в теории групп такую же роль, как 0 в сложении чисел и 1 в умножении. Математики называют его нейтральным (или единичным) элементом, я обозначу его символом I.