Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Удовольствие от X.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир
Шрифт:

Итак, мы придерживаемся прямой и узконаправленной линии поведения: не тратим впустую время и ограничиваемся анализом только тех рядов, которые сходятся. Значит ли это, что мы избежим встреченных ранее противоречий?

Пока нет. Кошмар продолжается. И это хорошо, что он существует, потому что напуганные им аналитики XIX века открыли более глубокие тайны в самом сердце исчисления, а затем вытащили их на свет. Извлеченные из этого уроки оказались бесценными не только для математики, но и для ее приложений во всех областях — от музыки до медицинской визуализации.

Рассмотрим ряд, известный в гармоническом анализе как знакочередующийся гармонический ряд:

1 —

+
+
+…

Вместо

одного шага вперед и одного назад здесь шаги становятся все короче и короче. Один шаг вперед, но только полшага назад, затем треть шага вперед и четверть шага назад и так далее. Обратите внимание на следующую закономерность: дроби с нечетным знаменателем имеют положительные знаки, а с четным — отрицательные. Частичные суммы в данном случае равны:

S1 = 1

S2 = 1 —

= 0,500

S3 = 1 —

+
= 0,833…

S4 = 1 —

+
= 0,583…

И если вы рассмотрите достаточно много таких сумм, то обнаружите, что они нацеливаются на число, близкое к 0,69. Действительно, можно доказать, что этот ряд сходится. Его предельное значение равно натуральному логарифму от 2 (обозначается ln2), приблизительно составляющему 0,693147.

Так что же здесь кошмарного? На первый взгляд, ничего. Знакочередующийся гармонический ряд походит на паиньку: сходящийся, с хорошим поведением. Ваши родители похвалили бы его.

Именно это и делает его опасным. Это хамелеон, мошенник, скользкий тип, который может быть кем угодно. Если переставлять его члены в произвольном порядке, вы можете подвести его сумму к любому значению. Буквально. Например, 297, 126 или –42, или 0, или любому другому.

Это выглядит так, будто ряд полон презрения к коммутативному закону сложения. Просто просуммировав его члены в иной последовательности, вы можете изменить ответ, чего никогда не произошло бы с конечной суммой. Поэтому, даже если исходный ряд сходится, в нем по-прежнему будут странности, которые невозможно представить в обычной арифметике.

Вместо того чтобы доказать этот удивительный факт (результат, известный как теорема Римана о перестановке слагаемых в условно-сходящихся рядах) [174] , рассмотрим очень простую перестановку, сумму которой легко посчитать. Сгруппируем члены этого ряда таким образом, чтобы к каждому положительному слагаемому прибавлялось два отрицательных.

Далее упростим каждое выражение в скобках, вычитая второй член из первого и оставляя без изменения третий член. Тогда ряд сводится к сумме:

174

Для получения четкого представления о теореме Римана см. Dunham, The Calculus Gallery, рр. 112–115.

После вынесения за скобки из всех дробей выражения как общего множителя ряд примет вид:

Смотрите, кто вернулся! Бестия в скобках — это снова знакочередующийся гармонический ряд. Но в результате перестановки, даже при сохранении всех его членов, как-то получилось, что он вдвое уменьшился по сравнению с первоначальным! Представленный в таком виде ряд теперь сходится к

ln2 = 0,346…

Странно? Да. Ненормально? Да [175] . Но неудивительно ли, что то же самое происходит и в реальной жизни. Как мы уже убедились в ходе прочтения книги, даже самые заумные и надуманные понятия математики часто находят практическое применение. Связь с практикой в данном случае заключается в том, что во многих областях науки и техники (от обработки сигналов и акустики до финансов и медицины) лучше всего представлять различные виды кривых, звуков, сигналов или изображений как группы (или совокупности) более простых кривых, звуков, сигналов или изображений. При этом основными строительными блоками будут синусоиды. Этот метод называется анализом Фурье [176] ,

а соответствующая сумма — рядом Фурье. Но когда рассматриваемый ряд имеет некоторые патологические свойства, как у знакочередующегося гармонического ряда и его невменяемых родственников, сходимость у ряда Фурье может быть действительно очень необычной.

175

Если знакочередующийся ряд сходится условно, это означает, что он сходится, но не абсолютно (сумма абсолютных значений его членов не сходится). Для рядов, подобных гармоническому, можно изменять порядок членов, чтобы получить любое действительное число. Таковы шокирующие следствия теоремы Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда. Поэтому сумма сходящегося ряда, если он не сходится абсолютно, может не соответствовать нашим интуитивным ожиданиям.

В случае абсолютно сходящегося ряда все перестановки ряда сходятся к одному значению. Что удивительно удобно. Это означает, что абсолютно сходящийся ряд ведет себя как конечная сумма. В частности, он подчиняется коммутативному закону сложения. Вы можете переставить члены ряда, как вам захочется, и получите тот же ответ. Более подробно о сходимости рядов, см.и http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_convergence.

Прим. ред.: Простая книга о сходимости рядов: Воробьев Н. Н. Теория рядов. М.: Наука, 1986.

176

Выдающаяся книга Tom Korner’s Fourier Analysis (Cambridge University Press, 1989) представляется как «витрина магазина» идей, методов, приложений и истории анализа Фурье. Уровень математической строгости высок, хотя книга остроумная, элегантная и приятно занимательная. Для получения представления о работе Фурье и ее связи с музыкой см. M. Kline, Mathematics in Western Culture (Oxford University Press, 1974), chapter 19.

Прим. ред.: Литература по анализу Фурье и рядам Фурье: Толстов Г. П. Ряды Фурье. М.: Наука, 1980; Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении: в 2 т. М.: Мир, 1985.

Вот, например, один из рядов Фурье, непосредственно вдохновленный знакочередующимся гармоническим рядом:

Чтобы получить представление о том, как он выглядит на графике, давайте рассмотрим сумму его первых десяти членов.

Частичная сумма 10 членов

Эта частичная сумма (показана сплошной линией) явно пытается приблизиться к более простой волновой кривой в форме зубцов пилы (показано пунктирной линией). Заметим, однако, что вблизи краев зубцов что-то не так. Синусоида «промахнулась» и приняла вид странного пальца, который выходит за пилообразную волну. Чтобы увидеть это отчетливее, посмотрим на увеличение одного из зубцов при x = :

Частичная сумма 10 членов

Попытаемся избавиться от пальца, включив в частичную сумму больше слагаемых. Не повезло. Палец просто становится тоньше и перемещается ближе к краю, но его высота остается примерно такой же.

Частичная сумма 50 членов

Частичная сумма 100 членов

Вину за происходящее можно возложить на знакочередующийся гармонический ряд. Его описанная выше патология сейчас загрязняет ряды, связанные с рядами Фурье. Они отвечают за этот раздражающий палец, который никуда не денется.

Данный эффект, обычно называемый феноменом Гиббса [177] , больше, чем просто математический курьез. Он известен с середины XIX века и в настоящее время проявляется в цифровой фотографии и на МРТ-сканировании [178] . Нежелательные колебания, вызванные феноменом Гиббса, могут привести к размытости, мерцанию и прочим непреднамеренным нежелательным визуальным искажениям на острых краях видеоизображения. В медицинской практике их можно ошибочно принять за поврежденную ткань или скрыть повреждения, которые есть на самом деле.

177

Феномен Гиббса и его нелегкая история рассматриваются в книге E. Hewitt and R. E. Hewitt, The Gibbs-Wilbraham phenomenon: An episode in Fourier analysis, Archive for the History of Exact Sciences, Vol. 21 (1979), pp. 129–160.

178

Как феномен Гиббса может повлиять на MPEG и JPEG технологии сжатия цифрового видео, см. http://www.doc.ic.ac.uk/~nd/surprise_96/journal/vol4/sab/report.html.

В MРТ-сканировании эффект Гиббса называется усеченным сигналом Гиббса:Методы для работы с этим артефактом см. T. B. Smith and K. S. Nayak, MRI artifacts and correction strategies, Imaging Medicine, Vol. 2, № 4 (2010), рр. 445–457, доступно на http://mrel.usc.edu/pdf/Smith_IM_2010.pdf.

Поделиться:
Популярные книги

Идеальный мир для Лекаря 10

Сапфир Олег
10. Лекарь
Фантастика:
юмористическое фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Идеальный мир для Лекаря 10

Бестужев. Служба Государевой Безопасности. Книга четвертая

Измайлов Сергей
4. Граф Бестужев
Фантастика:
попаданцы
аниме
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Бестужев. Служба Государевой Безопасности. Книга четвертая

Светлая тьма. Советник

Шмаков Алексей Семенович
6. Светлая Тьма
Фантастика:
юмористическое фэнтези
городское фэнтези
аниме
сказочная фантастика
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Светлая тьма. Советник

Лисья нора

Сакавич Нора
1. Всё ради игры
Фантастика:
боевая фантастика
8.80
рейтинг книги
Лисья нора

Калибр Личности 5

Голд Джон
5. Калибр Личности
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
аниме
5.00
рейтинг книги
Калибр Личности 5

(Не)нужная жена дракона

Углицкая Алина
5. Хроники Драконьей империи
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
6.89
рейтинг книги
(Не)нужная жена дракона

Сердце Дракона. Том 10

Клеванский Кирилл Сергеевич
10. Сердце дракона
Фантастика:
фэнтези
героическая фантастика
боевая фантастика
7.14
рейтинг книги
Сердце Дракона. Том 10

Белые погоны

Лисина Александра
3. Гибрид
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
технофэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Белые погоны

Как я строил магическую империю

Зубов Константин
1. Как я строил магическую империю
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Как я строил магическую империю

Повелитель механического легиона. Том VII

Лисицин Евгений
7. Повелитель механического легиона
Фантастика:
технофэнтези
аниме
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Повелитель механического легиона. Том VII

Я князь. Книга XVIII

Дрейк Сириус
18. Дорогой барон!
Фантастика:
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Я князь. Книга XVIII

На границе империй. Том 10. Часть 2

INDIGO
Вселенная EVE Online
Фантастика:
космическая фантастика
5.00
рейтинг книги
На границе империй. Том 10. Часть 2

Вечный. Книга I

Рокотов Алексей
1. Вечный
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
рпг
5.00
рейтинг книги
Вечный. Книга I

Отморозок 3

Поповский Андрей Владимирович
3. Отморозок
Фантастика:
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Отморозок 3