ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
Шрифт:
– А правда, что он сжег римский флот при помощи каких-то особенных зеркал?
– спросил Илюша.
– Нет!
– отвечал Радикс.
– Это сказка, которую выдумали в средние века. Уже Кеплер смеялся над ней. Зеркалом, разумеется, можно зажечь дерево, но для того, чтобы на расстоянии километра это сделать, надо изготовить зеркало диаметром в полкилометра... Вот этот-то Марцелл и назвал Архимеда "Бриареем геометрии", сравнив его со сказочным сторуким чудовищем.
– А как же называется этот способ вычисления площадей фигур вроде параболы и тому подобных?
– 324 -
– Ты хочешь сказать "площадей криволинейных фигур"?
Этот способ теперь в математике называется интегрированием.
Вдруг все замолчали, напряженно вглядываясь во что-то, что
Мальчик обернулся и увидел громадную тень Великого Змия, повисшую в воздухе.
– 325 -
Схолия Шестнадцатая,
где выясняется, какие прекрасные математические плоды нашел однажды астроном Кеплер. Затем Радикс знакомит Илюшу поближе с его старой приятельницей касательной, и тут он узнает, что эта линия является волшебницей, умеющей делать самые настоящие чудеса, а кроме того, объясняются некоторые необъяснимости, как, например, почему Илюша не может закинуть камень в 20 граммов весом за полкилометра, хотя, согласно тройному правилу, это вполне возможно. Дальше выясняется, как наконец подружились Кеплер и Галилей с Аполлонием и Архимедом, кто мешал этой дружбе, и что из этого получилось, и как после этого Исаак Ньютон пришел с простыми и умными гипотезами и со своим "микроскопом" в царство тех могущественных карликов, которых мы называем бесконечно малыми, и как они научили людей познавать законы природы.
Громадный призрак исчез. Радикс и Илюша поблагодарили любезных старичков и собрались уходить.
– Постой, - сказал Коникос, - а ведь ты не попробовал еще нашего замечательного кваску. Выпей-ка!
Илюша взял большой красивый стакан, в который Коникос налил квас из фонтана, и стал пить. Было очень вкусно.
Однако Илюша заметил, что с каждым глотком квас менял вкус. Сначала он явно был яблочный, затем напоминал лимон, а потом стал пахнуть айвой.
– 326 -
– Очень вкусно!
– сказал Илюша.
– Но только почему, когда его пьешь, то вкус все время меняется?
– Потому, - наставительно сказал Коникос, - что этот фонтан есть источник имени великого Кеплера, ученого начала семнадцатого века. Он первый после долгого и бесплодного перерыва возобновил работу над сложением бесконечно малых частиц, начатую Архимедом. И он-то и вычислил объем тела, получаемого от вращения части круга, несколько большей его половины. Это тело похоже на яблоко. Вот почему наш квас и пахнет этим кеплеровским яблоком. При вращении части круга, меньшей половины, он получил другое тело и назвал его лимоном. А из вращения большей части эллипса он получил новое тело, которое назвал айвой. Из вращения меньшей части эллипса он получил оливу. Вот какие плоды были у Кеплера! А кроме того, он нашел объемы еще многих других тел.
– А теперь это сладкое вино!
– воскликнул Илюша.
– А это потому, - сказал, улыбаясь, Асимптотос, - что Кеплер ведь занимался еще вычислением объемов винных бочек. Его работа так и называется "Новая стереометрия винных бочек". Она вышла в тысяча шестьсот шестнадцатом году.
– Очень вкусно!
– заключил Илюша.
Затем они распростились с добрыми хозяевами сыроварни, получили на дорогу по большому куску сыра и отправились восвояси.
– Все это очень интересно, - сказал Илюша, - по все-таки я не совсем понимаю, как это делается.
– В семнадцатом веке, - сказал Радикс, - было уже довольно много ученых, которые занимались такими вопросами.
Развивалась алгебра, и в решениях разных задач стало легче разбираться. Когда ты решаешь задачу арифметически, то числа после перемножения или сложения сливаются воедино, и ты уже не можешь следить за тем, что с ними происходит в течение решения. А в алгебре весь ход решения задачи у тебя перед глазами, и его легко исследовать. Греки занимались геометризованной алгеброй. Арабы много сделали для самой алгебры. В их среде были крупные ученые. Некоторые из них продолжали и даже развивали работы Архимеда по суммированию бесконечно малых. Но настоящая алгебра связана уже с европейской математикой, в частности с
Вращая около этой оси часть круга, большую его половины, мы получаем яблокообразное тело.
Затем, как мы уже говорили, замечательный французский философ и математик Декарт открыл аналитическую геометрию и ввел в употребление метод координат, хотя попытки такого рода были сделаны еще греками, а затем Орезмом в четырнадцатом веке. Это было шагом в сторону, противоположную греческим ученым, - это было алгебраизацией геометрии.
– 327 -
Это открытие дало науке очень много новых возможностей.
– А что это были за возможности?
– спросил Илюша.
Вращая около этой оси часть круга, большую его половины, мы получаем яблокообразное тело.
– Дело, видишь ли, тут вот какое. Если ты умеешь составить уравнения прямой или кривой, то, получив их, можешь действовать с этими уравнениями, как с алгебраическими выражениями, что гораздо проще, чем возиться с геометрическими построениями. Если, например, надо найти точку, где пересекаются две кривые, то, зная, как написать их уравнения (другими словами, зная, как выражается игрек через икс для одной из кривых и как выражается игрек через икс для другой), приравнивают эти алгебраические выражения друг другу и решают обычным путем получившееся таким образом уравнение относительно икса. Решение дает абсциссу искомой точки. Подставив икс в любое из уравнении, ты находишь и ординату, то есть значение игрека. Ну вот, к примеру, у нас есть две прямые:
y1 = 25 + 19x;
у2 = 5 + 9х.
Спрашивается: где пересекаются эти прямые? Другими словами, требуется найти координаты точки пересечения этих прямых. Совершенно очевидно, что в искомой точке и у1 и у2 имеют одно и то же значение, а следовательно, мы найдем абсциссу точки пересечения из такого уравнения:
25 + 19х = 5 + 9x.
Решая это уравнение, находим, что
x: = -2.
– 328 -
Вращая около этой оси часть круга, меньшую его половины, мы получаем лимонообразное тело.
Если тело обрезать сверху и снизу, получается бочка, объемом которой интересовался Кеплер. Еще более близкое к бочке теле можно получить из эллипса подобным же образом.
Чтобы найти ординату точки пересечения, подставляем найденное значение икса в любое из уравнений прямых и получаем:
y = -13.
Итак, координаты точки пересечения найдены, они равны:
– 2; -13.
Когда Декарт, говорят, привел в порядок все эти свои открытия, то он сказал: "Я решил все геометрические задачи". И это было справедливо в том смысле, что, владея его методом, можно было решить почти все задачи, известные в то время. Для примера того, как расширялись возможности наших суждений, вспомним параболу. Сперва греки говорили, что парабола есть сечение конуса плоскостью, параллельной образующей конуса. Затем, после того как было формулировано понятие геометрического места и оценено значение этого понятия, они определили параболу так: это геометрическое место точек, равноотстоящих от прямой и точки (директрисы и фокуса). А по методу Декарта легко показать, что парабола - это график квадратного трехчлена. Чисто геометрическое построение сроднилось с чисто алгебраическим. Причем и то и другое очень выиграло в смысле наглядности и простоты. Таким образом, ум математика освободился от целого ряда мелких, но хлопотливых трудностей, и это помогло заняться более важными работами.