ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Бобров Сергей Павлович

– Но ведь все нельзя точно доказать?
– усомнился Илюша.
– Многое люди делают и без доказательства.

– Конечно!
– подтвердил Коникос.
– Мы и говорили о том, как целые поколения простых тружеников, ремесленников, со временем совершенствуя свое мастерство, добиваются замечательных успехов. А осмыслить эти достижения очень трудно. Догадка - великое дело! И обычно она идет впереди рассуждения. На опыте не только человека, но даже насекомого - пчелы, мы видим, что за миллионы лет пчелиное искусство строить соты приобретает такие качества, которые только и можно выразить математически: соты при наименьшем количестве израсходованного материала (воска) обладают наибольшей вместимостью. И это обстоятельство не

осталось у греков незамеченным. Но преимущество человека перед пчелой то, что он не только может учить своего преемника на живом примере, но может еще кое-что объяснить и записать...

– Все это очень интересно! Расскажите, пожалуйста, еще про Древнюю Грецию, - попросил Илюша.

– Новый мир Древней Греции, - продолжал Коникос, - был уже в полном своем расцвете. Замечательное различие между людьми из восточных стран, где царили неумолимые деспоты, и людьми нового мира, греками, заключалось в том, что раб деспота умел только исполнять повеления, тогда как в греческом, более свободном государстве, человек научился рассуждать, опираясь не просто на приказы, а на подлинные законы общежительного мира, которые, в свою очередь, состояли из законов природы и великих достижений человеческого труда и опыта. Греки заимствовали у своих соседей ряд важных социально-экономических нововведений: у одних они заимствовали простую и удобную азбуку, у других - чеканную монету, что в результате очень облегчило торговые связи, а вскоре восточные царства пали под натиском греческого оружия.

– 310 -

Вспомни-ка походы Александра! А затем в новом богатом эллинистическом мире, где смешались древневосточная культура и греческая городская цивилизация, произошли и новые математические открытия. Великий философ Древней Греции Аристотель, основатель научной логики, учил, что геометрия занимается вещами недвижимыми, если не считать того, что двигается по небу, то есть тела небесные. Но вскоре понятие движение вошло и в геометрию. Аристотель в свое время учил, что точка "не может двигаться", что она есть пересечение двух прямых, подобно тому, как прямая - пересечение двух плоскостей, а плоскость - граница объема. Но пришло время новых задач, более трудных, и они потребовали ввести в геометрию движение.

– Вообще, - добавил Радикс, - в древности, а также и в средневековье полагали, что геометрия строится путем чистого рассуждения и как бы независимо от опыта, что, разумеется, неправильно. Отсюда делался необоснованный вывод, что такого рода наука в некотором смысле выше наук опытных, так как опыт, дескать, может и обмануть. Греческий философ и математик Платон утверждал, что геометрия "разрушается", если мы "низводим ее к чувственному миру", то есть к миру опыта, вместо того чтобы "насыщать ее невещественными и мысленными образами", то есть плодами чистого рассуждения и размышления. Отчасти это было полезно тем, что люди научились рассуждать абстрактно, а в этом был, конечно, свой смысл. Наконец греки столкнулись с задачами, к которым с помощью таких рассуждении подойти было невозможно.

И тогда-то в геометрические задачи и вторглось нечто совершенно новое, а именно движение.

– А что же тут такого?
– спросил Илюша.
– Почему же нельзя рассуждать о движении в математике? Разве это так сложно?

– Спустя много веков после того, как греки впервые подумали об этом, конечно, вопрос этот кажется совершенно несложным. А в то время это было не так-то просто. Геометрия Востока учила главным образом вычислять площади. Греки сами немало потрудились над определением объемов. Но вое это касалось свойств некоторых неподвижных и вполне определенных тел и фигур. Когда же дело коснулось линий, порожденных движением, то возникло немало споров о том, что такое движение, можно ли говорить о нем с той же строгостью и точностью, с какой мы говорим о геометрических соотношениях. И были такие философы, которые утверждали, что говорить о движении

вообще невозможно, что это понятие разрушает всю человеческую логику.

– 311 -

– Как странно это!
– сказал Илюша.
– Впрочем, мне вспоминаются стихи Пушкина:

Движенья нет, сказал мудрец брадатый, Другой смолчал и стал пред ним ходить. Сильнее бы не мог он возразить; Хвалили все ответ замысловатый. Но, господа, забавный случай сей Другой пример на память мне приводит: Ведь каждый день пред нами солнце ходит, Однако ж прав упрямый Галилей.

Но что же такого в движении, что оно казалось таким неопределенным?

– При рассмотрении движения древние мыслители сталкивались с большим для них затруднением, которое представляло тогда понятие непрерывности, ибо для понимания движения следовало представить себе, что движущееся тело проходит через бесконечное множество промежуточных положений. Вспомни рассказ про Ахиллеса и черепаху из Схолии Двенадцатой.

– Как же они применили движение в геометрии?
– спросил Илюша.

– Ну вот, - сказал Асимптотос, - посмотри, как решил задачу о трисекции угла греческий математик Гиппий Элидекий, современник Сократа, в пятом веке до вашей эры. Возьмем квадрат ABCD. Радиусом АЕ, равным стороне квадрата, проведем четверть окружности BED.

Приведем теперь радиус АЕ в совпадение со стороной АВ и будем поворачивать его по движению часовой стрелки по направлению к стороне AD. В то же время будем перемещать сторону ВС вниз параллельно ей самой так, чтобы это перемещение шло равномерно, согласованно с движением радиуса.

– Не понимаю, - сказал Илюша.
– В каком смысле согласованно?

Сторона ВС опускается вниз; радиус АЕ поворачивается вокруг точки А по часовой стрелке. Кривая BFG называется квадратрисой. Она есть геометрическое место точек пересечения двигающихся линий ВС и АЕ. АВ = ВС = АЕ.

– 312 -

– В таком, что обе линии начинают двигаться в один момент, а затем в один и тот же момент сливаются с линией AD.

Квадратриса делит угол на три части.

Если они будут двигаться именно так, то когда линия ВС пройдет половину стороны АВ, радиус АЕ пройдет половину угла BAD. Следовательно, если линия ВС пройдет четверть своего пути, то и радиус АЕ пройдет четверть прямого угла, и так далее. Будем теперь отмечать точки пересечения радиуса АЕ и стороны ВС. Геометрическим местом этих точек пересечения будет кривая BFG, намеченная пунктиром. Очевидно, что мы можем получить любое число таких точек, то есть построить всю кривую BFG. Когда же это сделано, нам достаточно разделить сторону CD на любое число равных частей, чтобы разделить угол на то же число частей. Если я разделю сторону CD на три части, как показано на этой странице, и проведу через точки II и I линии, параллельные стороне ВС, то точки пересечения этих прямых НК и IL с кривой BF1F2G, то есть точки F1 и F2, достаточно соединить прямыми с точкой А, чтобы разделить угол BAD на три части. И подобным же образом можно поступить не только с прямым, но и с любым углом и с любыми его частями, то есть разделить любой угол на любое число частей. Видишь, как все это просто и как остроумно решено.