Закрученные пассажи: Проникая в тайны скрытых размерностей пространства.
Шрифт:
Словосочетание «дополнительные измерения» особенно сбивает с толку, так как, даже если мы применяем эти слова по отношению к пространству, само такое пространство находится вне нашего чувственного опыта. Те вещи, которые трудно зрительно представить, обычно труднее описывать. Просто мы физиологически не созданы для восприятия более чем трех пространственных измерений. Свет, тяготение и все другие средства наблюдения представляют мир, содержащий, по-видимому, только три измерения пространства.
Так как мы не способны непосредственно воспринимать дополнительные измерения, даже если они существуют, многие опасаются, что попытки ухватить их смысл могут привести только к головной боли. По крайней мере, именно это как-то сказал мне журналист Би-би-си во время интервью. Однако спокойствию угрожают не мысли о дополнительных
Размышлять о дополнительных измерениях — это, в общем, совсем другое дело. Мы прекрасно можем представить себе их существование. И когда мои коллеги и я используем слова «измерения» и «дополнительные измерения», в нашей голове есть совершенно точные идеи. Итак, прежде чем сделать следующий шаг вперед или исследовать то, как новые идеи укладываются в нашу картину Вселенной (заметьте, снова пространственные образы), я объясню слова «измерения» и «дополнительные измерения» и то, что я буду иметь в виду, когда буду их далее употреблять.
Вскоре мы убедимся, что когда число измерений больше трех, слова (и уравнения) могут быть ценнее тысяч картин.
Любому из нас каждый день приходится иметь дело с пространствами, имеющими много измерений, хотя скорее всего большинство об этом и не думает. Однако рассмотрим все измерения, которые мы принимаем во внимание, когда решаемся на важный шаг, например, на покупку дома. Вы должны рассмотреть размеры дома, местонахождение школы, близость интересных мест, архитектуру, уровень шума и тому подобное.
Вы должны в многомерном контексте произвести оптимизацию, перечислив все свои желания и потребности.
Число измерений равно числу величин, необходимых вам для того, чтобы точно определить место в пространстве. Многомерное пространство может быть и абстрактным, например, пространство свойств, которыми должен обладать ваш дом, и конкретным, как реальное физическое пространство, которое мы вскоре рассмотрим. Но покупая дом, вы можете думать о числе измерений как о числе величин, записываемых вами в каждой ячейке базы данных, т. е. числе величин, о которых вам следует поинтересоваться.
Или рассмотрим неформальный пример применения понятия измерений к людям. Когда вы говорите о ком-то, как об одномерном человеке, вы на самом деле имеете в виду нечто совершенно конкретное: вы считаете, что данный человек интересуется чем-то одним. Например, Сэма, который нигде не работает и сидит дома, смотря спортивные передачи по ТВ, можно описать всего одной порцией информации. Если хотите, вы можете изобразить эту информацию в виде точки на одномерном графике, например, графике склонности Сэма к просмотру спортивных передач. Чтобы начертить такой график, вам нужно определиться с единицами, так чтобы любой другой человек смог бы понять, что означает расстояние вдоль единственной оси. На рис. 3 показан график, на котором точкой на горизонтальной оси отмечен Сэм. График указывает на количество часов в неделю, которые Сэм проводит у экрана ТВ, просматривая спортивные передачи. (К счастью, Сэм не будет оскорблен этим примером; он не входит в число многомерных читателей этой книги.)
Разовьем это понятие чуть дальше. Икар Рашмор III (из рассказанной выше истории), житель Бостона, — характер посложнее. На самом деле, он трехмерен. Икару двадцать один год, он водит спортивные автомобили и проигрывает деньги в Вандерленде, городе вблизи Бостона, где есть трек для собачьих бегов. На рис. 4 я изобразила Икара. Хотя он и нарисован на двумерной поверхности куска бумаги, наличие трех осей говорит о том, что Икар, безусловно, трехмерен [7] .
Однако, описывая большинство людей, мы обычно присваиваем им более одной или даже более трех характеристик. Афине, сестре Икара, одиннадцать лет, она жадно поглощает книги, отличается математическими способностями, интересуется текущими событиями и заботится о маленьких совятах. Вы можете захотеть изобразить все это на графике (хотя зачем это вам, я не очень понимаю). В этом случае Афина будет изображаться точкой в пятимерном пространстве, оси которого соответствуют возрасту, числу прочитанных за неделю книг, среднему числу баллов за тесты по математике, числу минут в день, затрачиваемых на чтение газет, и числу имеющихся в доме совят. Однако нарисовать такой график затруднительно. Для этого потребуется пятимерное пространство, которое очень трудно изобразить. Даже компьютерные программы поддерживают только 3D-графику.
7
Капризный читатель возразит, что Сэм также имеет возраст и, следовательно, еще одно измерение. Однако я предположила, что поведение Сэма не меняется в течение многих лет, так что его возраст не имеет значения. ’
Тем не менее, в абстрактном смысле, существует пятимерное пространство и набор пяти чисел, например (11, 3, 100, 45, 4), говорящих нам, что Афине 11 лет, она в среднем читает 3 книги каждую неделю, всегда отвечает правильно на математические вопросы, тратит каждый день 45 минут на чтение газет и в данный момент в доме живет 4 совы. Этими пятью числами я описала Афину. Если бы вы ее знали, вы могли бы опознать ее по точке в пяти измерениях.
Число измерений для каждого из трех описанных выше людей — это число признаков, использованных мной для их идентификации: один для Сэма, три для Икара и пять для Афины. Конечно, реальных людей в общем случае трудно описать таким небольшим числом единиц информации.
В последующих главах мы будем использовать измерения для описания не людей, а самого пространства. Под «пространством» я понимаю область, в которой существует материя и происходят физические явления. Пространство определенного числа измерений — это-пространство, требующее для задания любой его точки определенного числа величин. В одном измерении это будет точка на графике с единственной осью x; в двух измерениях — точка на графике с осями х и у, в трех измерениях — точка на графике с осями х, у и z [8] . Эти оси показаны на рис. 5.
8
Это замечание на самом деле не математическое, но «мальчик субботнего вечера» трехмерен.
Все, что нужно для знания вашего точного положения в трехмерном пространстве — это три числа. Задаваемые числа могут быть долготой, широтой и высотой, или длиной, шириной и высотой. Вы можете иным способом выбрать ваши три числа. Решающим является то, что наличие трех измерений означает, что вам требуется ровно три числа. В двумерном пространстве вам требуется два числа, а в пространствах с большим числом измерений вам нужно больше чисел.
Когда число измерений больше, это означает, что вы свободно можете двигаться по большему числу совершенно различных направлений. Точка в четырехмерном пространстве просто требует одну дополнительную ось, которую трудно нарисовать. Но совершенно нетрудно вообразить ее существование. Мы размышляем об этом, используя слова и математические термины.
В теории струн требуется еще больше измерений: эта теория постулирует существование шести или семи дополнительных координат, для того чтобы изобразить точку. Совсем недавние работы по теории струн показали, что число измерений может быть даже еще больше. В этой книге я буду придерживаться открытой точки зрения и допущу возможность существования любого числа дополнительных измерений. Рано говорить, сколько измерений имеет Вселенная на самом деле. Многие представления о дополнительных измерениях, которые я буду описывать, применимы к любому числу дополнительных измерений. В тех редких случаях, когда это будет не так, я об этом скажу специально.