Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление
Шрифт:
Вернемся в Соединенные Штаты. Там в 1963 году юный метеоролог из MIT по имени Эдвард Нортон Лоренц (1917–2008), который учился у Биркхофа в Гарварде, сформулировал модель из трех обыкновенных дифференциальных уравнений для описания движения потока жидкости под действием градиента температур. Эта модель представляла собой упрощенное описание конвекции в атмосфере, то есть движение потоков горячего и холодного воздуха в условиях заметной разницы температур: горячий воздух поднимается
Однажды во время поиска численных решений с помощью компьютера Royal МсВее LGP-30, первого персонального компьютера в мире, Лоренц отлучился выпить чашку кофе и, вернувшись, обнаружил, что система демонстрирует крайне нестабильное, хаотическое поведение. Компьютер распечатал список очень странных значений, в которых не прослеживалось какой-либо закономерности. Лоренц счел, что произошла какая-то ошибка, и повторил расчеты. Но всякий раз он получал те же необычные результаты. Списки чисел начинались с почти одинаковых значений, которые затем становились принципиально различными. Лоренц по счастливой случайности столкнулся с феноменом чувствительности к начальным условиям.
Он заметил, что система была крайне неустойчивой даже при малейших изменениях. Незначительное изменение начальных условий приводило к тому, что конечные состояния системы оказывались принципиально разными. Предоставим слово самому Лоренцу:
«Два неотличимо различающихся состояния могут породить два существенно различных состояния. Если допущена какая-либо ошибка при наблюдении текущего состояния системы (а для реальных систем это, по всей видимости, неизбежно), то дать надежный прогноз состояния системы в далеком будущем будет невозможно».
Позаимствованный Лоренцем образ в итоге занял важное место в науке: взмах крыльев бабочки в Бразилии мог вызвать торнадо в Техасе. Это явление получило название эффект бабочки. И действительно, представим, что маленькая бабочка сидит на ветке дерева в далекой Амазонии и время от времени раскрывает и закрывает крылья. Допустим, что она взмахнула крыльями ровно два раза. Так как атмосфера — это хаотическая система, чувствительная к начальным условиям, малейшее отклонение потоков воздуха рядом с бабочкой может в конечном итоге вызвать ураган над Техасом спустя несколько месяцев.
Этот феномен стал широко известен в 1972 году, когда на заседании Американской ассоциации содействия развитию науки Лоренц выступил с докладом на тему «Может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?», хотя еще в 1963 году один метеоролог так прокомментировал результаты исследования Лоренца: «Если эта теория верна, то взмах крыльев чайки может навсегда изменить погоду».
Популярная метафора о взмахе крыльев бабочки стала известной благодаря Лоренцу, а выражение «чувствительность к начальным условиям» ввел американский математик Гукенхеймер уже в 1970-е. В любом случае результат один: в силу хаотической динамики изначально совпадающие траектории постепенно отделяются друг от друга и расходятся.
Подобно спискам чисел, графики, приведенные Лоренцем в статье, изображали ряд колебаний, которые возрастали и в конечном итоге становились хаотическими.
Изначально траектория системы была периодической, но затем начинала испытывать сильные колебания, не подчиняющиеся какой-либо закономерности. Траектории вращались, по всей видимости,
В отличие от предсказуемых классических аттракторов (точек или предельных циклов), странные, или хаотические аттракторы, в частности аттрактор Лоренца, описывают непредсказуемые движения и имеют более сложную форму.
Лоренц опубликовал результаты своего открытия в метеорологическом журнале. Статья называлась «Детерминированный непериодический поток» и осталась практически незамеченной. Хотя Лоренц был метеорологом, он хотел быть математиком, однако эти планы нарушила Вторая мировая война. Математическое открытие Лоренца оказалось неактуальным, и статья пролежала на библиотечных полках почти 10 лет.
Только профессор Джеймс Иорк (род. 1941) из Мэрилендского университета смог распознать научные и философские последствия работы Лоренца: в упомянутой нами статье от 1963 года слились воедино (доказательством чему служит список источников, приведенный Лоренцем) топологические исследования нелинейных систем Пуанкаре, теория динамических систем Биркхофа и (внимание!) традиции советской математической школы, изложенные в книге «Качественная теория дифференциальных уравнений» Немыцкого и Степанова, изданной в Москве в 1949 году и переведенной на английский язык в 1960-м.
Эффект бабочки (чувствительность к начальным условиям) и так называемый эффект карточной колоды, заключающийся в растяжении и складывании траекторий, были сокрыты в гомоклинических сетях Пуанкаре. Оба этих признака хаоса проявились в виде аттрактора Лоренца и подковы Смэйла. Строго говоря, изучение гомоклинических сетей уже натолкнуло Смэйла на мысли о соленоиде и подкове, растяжение и складывание траекторий в которых являются характерными признаками хаоса. Так теория хаоса возродилась.
Если Эдвард Лоренц предложил научному сообществу парадигму непрерывных хаотических динамических систем (систему Лоренца), то Роберт Мэй (род. 1936), занимавшийся популяционной биологией, в своей статье «Простые математические модели, обладающие сложной динамикой», опубликованной в журнале Nature в 1976 году, описал парадигму дискретных хаотических динамических систем (в них время течет не непрерывно, а скачками). Речь шла о логистическом отображении очень простой функции: f(х) = kx (1 — х). При значениях, близких к 4, эта функция, как это ни парадоксально, демонстрирует удивительно сложную динамику.