Далекое будущее Вселенной Эсхатология в космической перспективе
Шрифт:
где в— продолжительность приема, а А— продолжительность передачи. При этой ширине полосы F' представляет как число фотонов, так и число принятых битов информации. Удобно выражать ви Акак долю радиуса вселенной во время передачи и приема информации:
A= (R A/c), B= (R B/c). (101)
Условие
<= 1 (102)
устанавливает
= В, ' = В'. (103)
Тогда (99), (100) и (101) дают
F' = {NN'5 2E / [(1+z) (sinh 2)E c]} 1/3, (104)
где, согласно (96),
Е с= (8hc 2/ 3S 0) = (4/3)137mc 2= 3•10 5erg. (105)
Из (104) мы видим, что количество информации, которую можно передать от А к В через заданный объем энергии, со временем, по мере расширения вселенной и отдаления А и В друг от друга, не уменьшается. Увеличение расстояния компенсируется снижением энергетической стоимости каждого фотона и увеличением угла приема при уменьшении длины волны.
Полученный сигнал задается формулой (104). Теперь нам необходимо сравнить его с полученным шумом. Фоновый шум во вселенной на частоте со можно описать эквивалентной температурой шума T N, так что число фотонов на единицу волны на стерадиан на квадратный сантиметр в секунду описывается формулой Релея–Джинса:
I = (kT N / 4 3hc 2). (106)
Эта формула — просто определение TN, которое в целом представляет собой функцию со и t. Я не предполагаю, что шум обладает планковским спектром на всех частотах. Лишь часть шума принадлежит изначальной фоновой радиации, обладающей планковским спектром при температуре R. Изначальная шумовая температура Rизменяется обратно пропорционально радиусу вселенной:
(k RR/hc) = = 10 29, (107)
где R задано формулой (8). Я полагаю, что спектр шума в целом по мере расширения вселенной изменяется в том же соотношении с радиусом и таким образом:
(T N/ R) = f(x), х = (h/k R), (108)
где f есть универсальная функция от х. Если х близко к единице, то в шуме преобладает реликтовое излучение и f(x) имеет планковскую форму
f(x) = f P(x) = х (е х— 1) – 1, х ~ 1. (109)
Однако возможны значительные отклонения от (109) как при большом х (результате красного смещения звездного света), так и при маленьком х (результате нетермальных радиоизлучений). Не углубляясь в детали, скажем просто, что f(x) в целом является уменьшающейся функцией х и быстро стремится к нулю по мере того,
Общая энергетическая плотность радиации во вселенной составляет
(4/c) I hd = (k R) 4I / ( 2h 3c 3), (110)
где
I = 0 f(x)x 2dx. (1ll)
Интеграл I должен сходиться как при высоких, так и при низких частотах. Следовательно, мы можем найти такое числовое ограничение b, что
x 3f(x)<b (112)
для всех х. В сущности, (112), вероятно, выполняется при b = 10, если мы будем избегать некоторых определенных частот, например водородной линии 1420 Мгц.
Число шумовых фотонов, полученных в течение времени tB приемником с шириной полосы В' и сечением составляет
F N= 4'B' BI('). (113)
Подставляя значения из (95), (96), (100), (103) и (108) в (113), получаем:
F N= (2r 0/ B)fN'F', (114)
где
r 0= (e 2/mc 2) = 3•10–1 3cm, (115)
а
B= (hc / k' R) = – 1R B(116)
— длина волны фонового реликтового излучения во время приема сообщения. Если F' — сигнал, то отношение сигнала к шуму равняется
R SN= ( B/ 2fN'r 0). (117)
В этой формуле f — отношение шума и температуры, заданное (108), N' — число электронов приемника, а 0, Bзаданы (115) и (116). Отметим, что в вычислении (117) мы не даем приемнику возможности выбора угла, поскольку сечение заданное (95), не зависит от направления.
Теперь подведем итоги нашего анализа. У нас имеются передатчик и приемник на мировых линиях А и В, передающие и принимающие сигналы во время t A= Т 0(sinh — ), t B= Т 0(sinh( + ) — ( + )). (118)
Согласно (89) и (101),
A= (dt A/d), B= (dt B/d). (119)
Для удобства будем считать, что передатчик постоянно направлен на приемник и передает сообщения с определенным циклом 8, который может изменяться в зависимости от Когда 5 = 1, передатчик все время включен. Число F' фотонов, принимаемых во время в, может рассматриваться как количество битов в отношении к переменной . В сущности, F'd — это число битов, получаемых в интервале d. Работать с переменной полезно, поскольку она поддерживает постоянное различие л между А и В.