Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства
Шрифт:
Данные принимают форму
Ключевая теорема, выведенная мертонской школой, — мертонское правило — оказалась своего рода мерной линейкой в гонках черепахи и зайчихи. Вообразим некоторую черепаху, которая бежит, скажем, одну минуту со скоростью, допустим, в одну милю в час. А теперь вообразим зайчиху, стартующую еще медленнее, но с постоянным ускорением — так, что к концу минуты она несется с гораздо большей прытью, чем ее соперница, движущаяся с постоянной скоростью. Согласно мертонскому правилу, если через минуту движения с постоянным ускорением зайчиха бежит вдвое быстрее черепахи, они прошли к этому моменту одно и то же расстояние. Если скорость зайчихи больше черепашьей более чем вдвое, она окажется впереди, а если менее чем вдвое — отстанет.
Если облечь все это в ученые термины, правило звучит так: расстояние, пройденное объектом с
Николай Орезмский доказал это правило геометрически, применив методику графиков. Он принялся откладывать время по горизонтальной оси, а скорость — по вертикальной. Таким способом постоянная скорость отображалась в виде горизонтальной прямой, а постоянное ускорение — линией, устремляющейся вверх под некоторым углом. Орем понял, что площадь под этими линиями — прямоугольник и треугольник соответственно — есть пройденное расстояние.
Расстояние, пройденное объектом с постоянным ускорением (в мертонском правиле), таким образом, есть площадь прямоугольного треугольника, чье основание пропорционально времени движения, а высота представляет максимальную скорость. Расстояние, пройденное объектом с постоянной скоростью, задается площадью прямоугольника с таким же основанием, как и у треугольника, а высота его вполовину меньше высоты треугольника. Оставалось лишь доказать, что площади этих двух фигур равны. Например, если удвоить этот треугольник, достроив к его гипотенузе такой же, и удвоить прямоугольник, достроив к нему такой же по верхней стороне, получится одна и та же фигура.
Орем применил аналогичное графическое рассуждение [106] при формулировке закона, который обычно приписывают Галилею: расстояние, пройденное объектом с постоянным ускорением, растет с квадратом времени. Убедиться в этом можно, представив вновь все тот же прямоугольный треугольник, чья площадь есть расстояние, пройденное с постоянным ускорением. Эта площадь пропорциональна произведению основания на высоту, а они в свою очередь пропорциональны времени.
Такое интуитивное понимание Оремом природы пространства не менее поразительно. А еще Николай Орезмский утер Галилею нос [107] , фактически сделав вклад в эйнштейнову теорию относительности. В пределах этой теории имеет смысл лишь относительное движение. Учитель Орема в Париже, Жан Буридан, считал, что Земля не может вращаться: если бы она вращалась, стрела, пущенная вертикально вверх, падала бы в другое место. Орем возразил своим примером: мореход на корабле, вытягивая руку вдоль мачты, воспринимает это движение как вертикальное. Однако нам с суши это движение увидится как диагональное — потому что корабль движется. И кто же тогда прав? Орем считал, что сам вопрос в данном случае сформулирован неверно: невозможно выяснить, происходит ли движение объекта без соотнесения его с другим. Ныне это наблюдение иногда называют принципом относительности Галилея.
106
Clagett, стр. 291–293.
107
Lindberg, The Beginnings , стр. 258–261.
Николай Орезмский не опубликовал множество своих трудов, а многие не довел и до логического завершения. Во многих своих рассуждениях он подошел вплотную к научному перевороту, но во имя Церкви всякий раз отступал. К примеру, опираясь на свой анализ относительности движения, Орем пришел к размышлениям о том, можно ли развить астрономическую теорию, согласно которой Земля бы вращалась и даже двигалась бы вокруг Солнца, — эти революционные идеи позднее провозгласили Коперник и Галилей. Но Орем не только не смог убедить в этих представлениях своих современников, но и сам в конце концов от них отказался, и сдался он не перед доводами разума [108] , а перед Библией. Ссылаясь на псалом 93: 1, Орем писал: «Облечен Господь могуществом [109] препоясан: потому вселенная тверда, не подвигнется» [110] .
108
Lindberg, The Beginnings , стр. 260–261.
109
и
110
В русской традиции — Псалтирь, 92: 1. Сходная мысль выражена в Пс. 96: 10: «Господь царствует! потому тверда вселенная, не поколеблется» (рус. трад. Пс. 95:10). — Прим. пер.
Во многом Николай Орезмский обрел блистательные прозрения о природе мира, но всякий раз отшатывался от истины, открывавшейся ему. Например, у Орема были крайне скептические представления
111
Charles Gillespie, ed., The Dictionary of Scientific Biography (New York: Charles Scribner’s Sons, 1970–1990).
Хотя нет никаких доказательств того, что Галилей использовал какие-либо труды Орема, интеллектуальное наследование очевидно. Увы, революция Николая Орезмского в математике так и не произошла, и миру пришлось подождать еще 200 лет, а пока Церковь слабела, двое других французов украдкой приняли эстафету и на сей раз изменили математику навсегда.
Глава 11. Солдатская сказка
31 марта 1596 года [112] хворая французская аристократка, сухо кашляя — возможно, туберкулез, — родила своего третьего ребенка. Младенец оказался слабым и болезненным. Несколько дней спустя мать скончалась. Врачи предсказывали, что вскоре и чадо последует за родительницей. Отцу ребенка пришлось ох как не просто, однако он не сдался. Первые восемь лет он не выпускал сына из дома, почти все время держал в кровати, приставил к нему сиделку и сам заботился о нем со всей родительской любовью. Ребенок протянет пятьдесят три года, прежде чем его доконают слабые легкие. Так был спасен для мира один из его величайших философов, архитектор следующей математической революции — Рене Декарт.
112
Лучшая современная биография Декарта: Jack Vrooman, Rene 2 Descartes (New York: G. P. Putnam’s Sons, 1970). Описание сплетения его жизни с математикой см.: Muir, стр. 47–76; Stuart Hollingdale, Makers of Mathematics (New York: Penguin Books, 1989), стр. 124–136; Kramer, стр. 134–166; Bryan Morgan, Men and Discoveries in Mathematics (London: John Murray, 1972), стр. 91–104.
Когда Декарту было восемь (некоторые говорят, десять [113] ), отец отправил его в Ла-Флеш, иезуитскую школу — тогда еще новую, но вскоре приобретшую знаменитость. Ректор школы позволял юному Декарту допоздна валяться в кровати, покуда ученик не готов был явиться на занятия. Неплохая привычка, если удается ее поддерживать, а у Декарта это получалось вплоть до последних месяцев жизни. Учился Декарт хорошо, но по окончании восьми школьных лет начал демонстрировать скептицизм, которым и прославился как философ: он пришел к убеждению, что все, чему его учили в Ла-Флеш, либо бесполезно, либо ошибочно. Вопреки этому осознанию он подчинился желанию отца и провел еще два года в бесполезной учебе, на сей раз — в соискании степени в юриспруденции.
113
В разных источниках приводится разный возраст. Распределение этих данных выглядит равномерным.
Наконец Декарт забросил науку букв и переехал в Париж. Там он ночами вел светскую жизнь, а днем лежал в постели и изучал математику (приступая к занятиям, разумеется, после полудня). Математику он полюбил, и она даже время от времени приносила ему доход — Декарт применял ее за игровым столом. Однако довольно скоро Париж Декарту приелся.
Что делали молодые люди с некоторыми средствами во времена Декарта, если желали странствовать и искать приключений? Шли в армию. В случае Декарта — в армию принца Морица Оранского (Нассауского). То была настоящая добровольческая армия — Декарту за его службу не платили. В итоге все остались при своих: Декарт не только ни в каких военных действиях не поучаствовал — через год он присоединился к вооруженным силам противника, герцога Баварии. Странное дело: сначала вербуемся к одним и не воюем, потом к другим — и опять не воюем. Но в тот период в войне Франции и Голландии против Испано-австрийской монархии возникло затишье, а Декарт пошел в армию ради путешествий, а не из политических соображений.
Служить Декарту понравилось: он встречался с людьми из разных краев, и в то же время ему хватало уединения, чтобы посвящать его изучению математики и наук, а также размышлениям о природе Вселенной. Его странствия почти немедленно принесли плоды.
Однажды в 1618 году солдат Декарт оказался в маленьком голландском городке Бреда, где увидел толпу, собравшуюся вокруг уличного объявления. Он подошел ближе и попросил пожилого зеваку перевести ему написанное на французский. Ныне в таком объявлении можно прочесть что угодно — рекламное воззвание, запрет парковки, призыв помочь с поисками человека. Но есть такое, чего теперь в уличных объявлениях не встретишь, а именно: математическую задачку, адресованную широкой публике.