Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства
Шрифт:
Сформулированный нами закон определяет отношение между у и х ; это частный случай того, что математики называют функцией. В нашем примере парабола есть график функции. Физика в существенной степени занимается именно тем, что мы сейчас проделали: обнаружением закономерностей в данных, определением функциональных зависимостей и (этим мы не озаботились) объяснением причин той или иной взаимосвязи.
Точно так же, как можно вывести физические законы графически, применив картезианские методы, у евклидовых теорем тоже есть алгебраические следствия. Например, представьте теорему Пифагора в декартовых терминах. Вообразите прямоугольный треугольник. Для простоты положим, что вертикальная сторона его лежит вдоль оси у и тянется от точки начала координат до точки А , а горизонтальная сторона — из точки начала координат вдоль оси х до точки В . Таким образом длина вертикальной стороны равна координате у ее конечной точки А , а длина горизонтальной стороны —
Теорема Пифагора в данном случае говорит нам, что сумма квадратов горизонтальной и вертикальной сторон, х 2 + у 2, есть квадрат длины гипотенузы. Если принять определение, что расстояние между двумя точками А и В есть длина линии, соединяющей их, то мы только что установили, что квадрат расстояния между А и В есть х 2 + у 2. А теперь представим любые две точки А и В на плоскости. Мы вполне можем изобразить оси х и у так, чтобы получилась та же ситуация, которую мы только что рассмотрели: А размещается на горизонтальной оси, а В — на вертикальной. Это означает, что квадрат расстояния [125] между любыми двумя точками А и В есть попросту сумма квадратов разниц между их соответствующими координатами.
125
Теперь нам становится понятнее декартово определение окружности. Если окружность имеет центр в точке начала координат, и координаты точки на окружности — х и у , тогда требование, чтобы х и у отвечали уравнению х 2 + у 2 = r 2, попросту означает, что все точки на окружности должны находиться на расстоянии r от центра; это простое интуитивное определение, знакомое нам со школы.
Декартова формула для определения расстояния [126] имеет глубокие связи с евклидовой геометрией, и нам еще предстоит в этом убедиться. Но его представление о расстояниях как о функции разниц координат и в общем случае состоятельно; именно оно позднее стало ключевым для понимания природы и евклидовой, и неевклидовой геометрий.
Декарт применил свои прозрения в геометрии ко многим своим знаменитым трудам в физике. Он первым сформулировал закон рефракции света в его современном тригонометрическом виде; ему же принадлежит первое исчерпывающее объяснение физики радуги. Его геометрические методы оказались настолько всеобъемлющими для всех его представлений, что он сам писал: «Вся моя физика есть не что иное как геометрия» [127] . И тем не менее Декарт откладывал издание своих трудов по геометрии координат целых девятнадцать лет, да и вообще ничего не публиковал до своих сорока. Чего он боялся? Да как обычно — Католической церкви.
126
Хоть мы и объяснили это для плоскости, двухмерного пространства, декартовы координаты просто будет распространить на три и более измерения. К примеру, уравнение сферы х 2 + у 2 + z 2 = r 2, изменение состоит лишь в дополнительной координате z. Таким образом, физические теории могут быть описаны с помощью произвольного числа пространственных измерений. Выясняется, что обычная квантовая механика принимает чрезвычайно простой вид при бесконечном числе пространственных измерений, и это свойство применяется для нахождения приблизительных ответов для уравнений, решение которых иначе затруднительно. Интересующимся математикой рекомендуем: L. D. Mlodinow and N. Papanicolaou, «SO(2,1) Algebra and Large N Expansions in Quantum Mechanics», Annals of Physics, том 28, № 2 (сентябрь, 1980), стр. 314–334.
127
Vrooman, стр. 120.
По многократному настоянию друзей Декарт уже готов был обнародовать свои работы несколькими годами ранее — в 1633-м. И тут этот итальянец по имени Галилей издал труд под названием «Диалог о двух главнейших системах мира» [128] . Симпатичная такая пьеска — трое болтунов разговаривают об астрономии. Явно внебродвейское нечто. Но почему-то отцы Церкви решили разобраться, что к чему, и как-то не впечатлились. Быть может, сочли, что актер, представлявший их птолемеевские воззрения, получил слишком мало реплик. К сожалению, в те дни, если Церковь бралась рецензировать книгу, она рецензировала и автора, а результатом такой рецензии — и для книги, и для автора — мог стать костер. В случае с Галилеем сожгли книгу, а самому Галилею пришлось от нее отречься и — ах да! — от Инквизиции ему еще и достался тюремный срок без возможности откинуться. Декарт фанатом Галилея не был. Он даже написал свою рецензию на книгу итальянца: «Сдается мне, ему (Галилею) не достает вот чего: он постоянно отвлекается и все никак не раскроет во всей полноте ту или иную тему, а это говорит о том, что он в ней не разобрался по порядку…» [129] И все же он разделял гелиоцентрические представления
128
На рус. яз.: М., СПб: ОГИЗ Москва — Ленинград, 1948, пер. А. И. Долгова. — Прим. пер.
129
На рус. яз.: М., СПб: ОГИЗ Москва — Ленинград, 1948, пер. А. И. Долгова. — Прим. пер.
130
Vrooman, стр. 84–85.
Но все-таки Декарт наконец собрался с духом и в 1637 году обнародовал первую работу, позаботившись о том, чтобы его труд никоим образом не задевал Церковь. К сорока годам Декарту было что сказать далеко не только о геометрии, и он объединил все накопившееся одном томе. Под предисловие потребовалось 78 страниц. Оригинальная рукопись носила не слишком хлесткое название: «Рассужденье о вселенской науке, что могла бы возвысить нашу природу до величайших вершин совершенства; далее о диоптрике, о метеорах и геометрии, где любопытнейшие соображения, какие автор смог добыть, дабы доказать вселенскую науку, кою он предлагает, объясняются таким манером, что даже и те, кто никогда не учился, смогут их постичь» [131] . При издании название слегка подсократили — видимо, сотрудники той службы, что в XVII веке выполняла функции отдела издательского маркетинга. И все равно получилось длинновато. Время обточило название до совсем краткого, и ныне эту работу Декарта обычно именуют «Рассуждением» или «Рассуждением о методе».
131
Vrooman, стр. 89.
«Рассуждение о методе» — протяженный трактат, описывающий философию Декарта и его рациональный подход к решению научных задач. «Геометрия», третье приложение, была призвана показать результаты, каких удалось добиться методами, предложенными Декартом. Свое имя он с титульного листа убрал — и не потому, что название заняло всю страницу, а из-за неизбывной боязни преследования. К сожалению, его друг Марен Мерсенн написал вступление и в нем не оставил никаких сомнений в личности автора книги.
Опасения Декарта оправдались: его подвергли жестокой критике [132] — за брошенный Церкви вызов. Даже математическая часть его труда вызвала злобную реакцию. Ферма, который, как мы уже сказали, открыл сходный способ алгебраизации геометрии, взялся цепляться по мелочам. Блез Паскаль, другой гениальный французский математик, отверг работу целиком. И все же частные распри лишь ненадолго могут удержать развитие науки, и всего через несколько лет декартова геометрия стала частью практически любого университетского курса. А вот философию его принимать не торопились.
132
Vrooman, стр.152–155, 157–162.
Яростнее прочих на Декарта нападал человек по имени Воэций — глава богословского факультета Университета Утрехта. Ересь Декарта, по мнению Воэция, была обычного сорта: вера в разум и наблюдение как инструменты определения истины. Декарт же на самом деле пошел еще дальше — он верил, что люди могут властвовать над природой, а также совсем скоро обнаружат лекарства от всех болезней и тайну вечной жизни.
Декарт мало с кем дружил и так и не женился. Любовь же у него все-таки была [133] , ее звали Элен. В 1635 году она родила ему дочку — Франсин. Судя по всему, они прожили втроем с 1637 по 1640 год. Осенью 1640-го, в разгар войны с Воэцием, Декарт уехал приглядеть за изданием своей новой книги. Франсин заболела — вся покрылась багровыми пятнами. Декарт поспешил домой. Нам не ведомо, успел ли он вовремя, но девочка умерла на третий день болезни. Декарт и Элен вскоре расстались. Если бы не запись, рассказывающая о ее жизни и смерти, сделанная на клапане обложки одной из книг Декарта, мы бы, может, никогда и не узнали, что Франсин была его дочкой, а не племянницей, как он всем говорил — во избежание скандала. Декарт всю свою жизнь был известен как человек безэмоциональный, а эта смерть раздавила его. После нее он не прожил и десяти лет.
133
Vrooman, стр.152–155, 157–162.
Глава 12. Во льдах Снежной королевы
Через несколько лет после смерти Франсин двадцатитрехлетняя королева Кристина Шведская [134] пригласила Декарта ко двору. В биографическом фильме 1933 года Кристину сыграла Грета Гарбо, и воображение и впрямь рисует изящную юную шведку — эдакую высокую беспечную блондинку. Как водится, голливудская история не вполне близка к истине. Настоящая Кристина была коротышкой, одно плечо выше другого, с низким мужским голосом. Ей не нравилась традиционная женская одежда, по описаниям она смахивала на кавалериста. Говаривали, что еще ребенком королева обожала пушечную пальбу.
134
Об отношениях Декарта и Кристины см.: Vrooman, стр. 212–255.
К двадцати трем годам из Кристины уже получился суровый десятник, нетерпимый к хлюпикам. Она спала не более пяти часов в сутки и нимало не трепетала от мысли о долгих ледяных зимах Швеции: ведь тогда можно играть в хоккей на асфальте, залитом водой из шланга (если бы хоккей, асфальт и шланги были к тому времени уже изобретены). И сотни лет спустя мы, читая о Декарте, можем предположить, что двор ее шведского величества — не совсем то место, где нашему герою хотелось бы прохлаждаться. И тем не менее Декарт выбрал эту игру. Отчего же?