Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства
Шрифт:
Аксиома I-3: Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.
Аксиома II-3: Среди любых трех точек, лежащих на одной прямой, существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.
Гильберт и другие ученые доказали, что все свойства евклидова пространства можно вывести из этих аксиом.
Революция искривленного пространства глубоко повлияла на все области математики. Примерно со времен Евклида и до работ Гаусса и Римана, обнаруженных посмертно, математика была по большей части дисциплиной прагматической. Евклидова структура воспринималась как описание физического пространства. Математика в некотором смысле была разновидностью физики. Вопросы непротиворечивости математических
Перед математиками встал вопрос совсем нового свойства: доказательство логической непротиворечивости их построений. Понятие доказательства, переместившееся за последние века развития расчетных методик на заднее сиденье, вновь стало главенствующим. Состоятельна ли геометрия Евклида? Самый лобовой способ доказать непротиворечивость логической системы — доказать все мыслимые теоремы и продемонстрировать, что ни одна не противоречит другой. Поскольку существует бесконечное количество возможных теорем, такой подход годится лишь тем, кто планирует жить вечно. Гильберт опробовал иную тактику. Как и Декарт с Риманом, Гильберт определили точки в пространстве через числа. В случае с двухмерным пространством, например, каждая точка соответствует паре действительных чисел. Превратив точки в числа, Гильберт смог перевести все фундаментальные геометрические понятия и аксиомы в арифметические. Так доказательство любой геометрической теоремы переводится на язык арифметических или алгебраических действий с координатами. А поскольку любое геометрическое доказательство следует логически из аксиом, арифметическая интерпретация должна вытекать из аксиом, облеченных в арифметическую форму. Если в геометрии возникает противоречие, оно проявится и при переводе на язык арифметики, а если арифметика непротиворечива, стало быть, стройны и гильбертовы формулировки евклидовой геометрии (для неевклидовых геометрий эти действия тоже были позднее проделаны). Яснее некуда? Хотя в итоге Гильберту и не удалось доказать абсолютную непротиворечивость геометрии, доказать относительную непротиворечивость он все-таки смог.
Из-за бесконечности числа возможных теорем абсолютная непротиворечивость геометрии, арифметики и, если уж на то пошло, всей математики — дело куда более трудоемкое. Чтобы разобраться и с этим, математики изобрели абстрактную теорию объектов, имеющую с ними дело на самом общем уровне, независимо от всяких особенностей того, чем они на самом деле являются. Эта теория, которую ныне преподают в большинстве общеобразовательных школ, называется теорией множеств.
И все-таки даже самая простая теория множеств сталкивается с путаными парадоксами: один такой был опубликован в 1908 году в малоизвестном журнале «Abhandlung der Friesschen Schule» Куртом Греллингом и Леонардом Нелсоном. Греллинг и Нелсон рассматривают множество слов. Возьмем, во-первых, множество всех прилагательных, описывающих сами слова. Например, слово «двадцатиоднобуквенный» само, да, состоит из двадцати одной буквы, а прилагательное «многосложный» — многосложно. В пику этому множеству есть множество всех прилагательных, которые себя не описывают. На ум почему-то приходят слова типа «хорошо написанный», «поразительный» и «другу рекомендуемый» (если в этой книге и есть хоть одно предложение, которое стоит вызубрить, — вот оно). Последнее множество называется гетерологическим — вероятно, оттого, что «гетерологический» само по себе многосложно.
Красота? Но есть, однако, закавыка: а «гетерологический» — гетерологическое слово? Если да, значит, оно себя описывает, следовательно, оно таковым не является. Раз оно таковым не является, значит, оно себя не описывает, а следовательно — является. Вот что математики называют парадоксом; для не-математика это всего лишь знакомая безвыигрышная ситуация (понятие, придуманное математиками, дай им бог здоровья) [192] .
В 1903 году Бетран Расселл, без пяти минут лорд Расселл, попытался навести порядок, предположив в своей скромной книге под названием «Принципы математики», что вся математика должна выводиться из логики. Совместно со своим коллегой по Оксфорду Алфредом Нортом Уайтхедом он попытался добиться такой выводимости — или хотя бы показать, как это сделать, — в трехтомном магнум-опусе, изданном между 1910 и 1913 годами. Вероятно, потому, что этот труд был серьезнее публикации 1903 года, он получил латинское название «Principia Mathematica». В «Principia» Расселл и Уайтхед заявили, что свели всю математику
192
Понятие из области математики, называемой теорией игр. — Прим. пер.
Гильберт отнесся к этим заявлениям скептически. Он подначил математиков строго доказать успешность программы Расселла и Уайтхеда. Этот вопрос отложили насовсем в 1931 году шокирующей теоремой Курта Гёделя [193] : он доказал, что в системе достаточной сложности — в теории чисел, к примеру, — должно существовать утверждение, чью истинность или ложность невозможно доказать. Это уничтожает утверждение Расселла и Уайтхеда: они не только не показали, как именно все математические теоремы можно вывести из логики, но и в принципе не могли бы этого сделать!
193
Отличное объяснение см.: Ernest Nagel and James R. Newman, Godel’s Proof (New York: New York University Press, 1958), а также в классике широкого диапазона, которую вдохновила эта книга, напр.: Douglas Hofstadter, Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid (New York: Vintage Books, 1979).
Математики продолжают работать над фундаментом своей науки, но со времен Гёделя никому еще не удалось заметно изменить общую картину. По-прежнему не существует общепринятого подхода к тому, что начал Евклид: к аксиомам математики.
Между тем сила математики — не в одних лишь умозрительных играх, и это ни в чем не очевидно так, как в применении Эйнштейном свежеоткрытых типов математических пространств к тому, в котором мы живем. Хоть и серьезно перемоделированная, геометрия продолжила быть окном видения нашей Вселенной.
Часть IV. История Эйнштейна
Отчего пространство искривляется?
У пространства появилось новое измерение — в ХХ веке оно взрывается пространством-временем и превращает служащего патентного бюро в героя столетия.
Глава 21. Революция со скоростью света
Гаусс и Риман показали, что пространство может искривляться, и разработали математику, необходимую для описания этого явления. Далее встал вопрос: а в каком пространстве обитаем мы? Или — еще глубже: что определяет форму пространства?
Изящный и точный ответ, данный Эйнштейном в 1915 году, на самом деле впервые в общих чертах был предложен еще в 1854-м самим Риманом:
Вопрос обоснованности геометрии… связан с вопросом внутренней причины метрических взаимоотношений пространства… нам следует искать причину этих метрических взаимоотношений вне самого пространства, во внешних силах, воздействующих на него… [194]
Что отталкивает объекты друг от друга или сближает их? Риман, оказалось, сильно обогнал свое время и поэтому не смог развить на основании своего прозрения внятную теорию — он ушел настолько далеко вперед, что даже сами слова его нельзя было оценить по достоинству. Однако шестнадцать лет спустя один математик все же обратил на них внимание.
194
Monastyrsky, стр. 34.
21 февраля 1870 года Уильям Кингдон Клиффорд представил Кембриджскому философскому обществу статью под названием «О пространственной теории материи». Клиффорду тогда было двадцать пять — как и Эйнштейну, когда он опубликовал свою первую статью по специальной теории относительности. В своей статье Клиффорд смело заявил [195] :
Я утверждаю: 1. Малые области пространства подобны в своей природе небольшим холмам на поверхности, которая в целом плоская; 2. Свойство кривизны, или искажения, подобно волне, постоянно передается от одной области пространства к другой и далее; 3. Переменность кривизны пространства — вот что на самом деле происходит в процессе того явления, которое мы называем движением материи…
195
Monastyrsky, стр. 36.