Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства
Шрифт:
Иными словами, гравитация — фиктивная сила. Как и фиглитацию, ее можно считать всего лишь декоративным элементом выбранной нами системы отсчета и устранить, выбрав другую. Этот принцип применим к равномерному воздействию поля тяготения и это — его простейший вид, в каком сам Эйнштейн впервые помыслил его. Работы Гаусса и Римана позволили Эйнштейну применить этот принцип к любому полю тяготения путем представления неравномерного поля как мозаики бесконечно малых (т. е. вот прямо очень-преочень маленьких) равномерных полей, соединенных вместе, но этого утверждения он не делал еще пять лет, до 1912 года. Вот тогда-то он и сформулировал название «принцип эквивалентности».
Давайте разберемся, что Эйнштейн имел в виду под исходным вариантом равномерного поля. Ньютон в качестве равномерно движущихся систем отсчета представлял корабли, Эйнштейн — поезда, а иногда — лифты. Ньютон, может, вообще иначе смотрел
Теперь предположим, что вы входите в лифт на первом этаже конторского здания. Двери закрываются, а вы зажмуриваетесь. Теперь откройте глаза. Вы чувствуете свой вес. Что за силу, тянущую вниз, вы ощущаете? Может, это земное тяготение, а может, Землю внезапно уничтожили пришельцы и тащат лифт вверх, каждую секунду увеличивая скорость на 32 фута в секунду. Вряд ли это тема для собеседования на открытую вакансию, но согласно принципу эквивалентности эффект в обоих случаях один и тот же. Отпустите кофейный стакан, и он плюхнется на пол одним и тем же манером — оба раза.
Тот факт, что объекты в свободно падающем лифте будут словно бы плавать, а в ускоряющемся лифте в пространстве без гравитации — падать, предсказано законами Ньютона. В этих сценариях новой физики как таковой нету. Но, как обычно, Эйнштейн неутомимо вытрясал из ситуации ее тайны. И тайны эти оказались странными: тяготение должно влиять на ход времени и форму пространства.
Чтобы определить влияние на ход времени, Эйнштейн применил анализ ситуации с лифтом примерно в том же ключе, что и в случае с вагоном метро. Он зафиксировал восприятия различных наблюдателей, обменивающихся световыми сигналами и регистрирующих время получения этих сигналов. Эйнштейн собирался описать физику этой ситуации с помощью специальной теории относительности, но столкнулся с некоторой трудностью. Поскольку наблюдатели двигаются с ускорением, специальная теория на них не распространяется. Тогда он сделал допущение, ставшее впоследствии одной из опорных точек конечной теории: внутри достаточно небольшого объема пространства, краткого промежутка времени и небольшого ускорения — специальная теория относительности по-прежнему приблизительно применима. При таком подходе Эйнштейн смог применить свою теорию и принцип эквивалентности для бесконечно малых областей — даже в неравномерном поле.
Вообразите длинную космическую ракету с Николаем в носовой части и Алексеем в хвостовой. У них идентично настроенные часы. Алексей дает сигнал фонариком каждую секунду по своим часам. Для простоты предположим, что, согласно замерам Алексея и Николая, корабль у нас в одну световую секунду длиной. (В смысле, свет долетит от Алексея к Николаю за одну секунду.) Что наблюдает Николай?
Поскольку Алексей подает сигнал каждую секунду, и каждая вспышка добирается до Николая за одну секунду, через одну секунду Николай будет видеть по вспышке в секунду. Теперь представим, что ракета стартует с постоянным ускорением. Что меняется? Свет от следующей после старта вспышки достигнет Николая быстрее, чем ожидалось, поскольку Николай теперь двигается ему навстречу. Положим, свет доберется до цели на 0,1 секунды раньше положенного. Согласно принципу эквивалентности, Николай и Алексей могут и не считать, что какое-то движение вообще происходит, и счесть ощущение «тяги» за проявление сил гравитации. Но если они не воспринимают ускорение и связывают его с действием поля тяготения, они и движение Николая навстречу вспышке света могут отрицать. Они придут к заключению, что прибытие сигнала на 0,1 секунды раньше связано с ускоряющим действием, оказываемым гравитацией на часы Алексея, и поэтому он дает вспышку на 0,1 секунды раньше условленного срока.
Если, согласно принципу эквивалентности, обе интерпретации допустимы, мы вынуждены заключить, что часы, размещенные в гравитационном поле выше, идут быстрее. Из-за поля тяготения Земли часы Алексея, квартирующего на верхней полке, чуточку спешат по сравнению с часами Николая, обитающего на нижней. Самую малость. Даже в поле тяготения Солнца,
245
Charles Misner, Kip Thorne, and John Wheeler, стр. 131.
246
Этот эффект наблюдали в 1960 г.: R. V. Pound, G. A. Rebka, Jr., Physical Review Letters , том 4 (1960), стр. 337.
Эйнштейн впервые выдвинул соображение, что гравитация влияет на ход времени, в 1907 году. Из специальной теории относительности нам известно, что пространство и время взаимосвязаны. Сколько понадобилось времени техническому эксперту, чтобы осознать: присутствие гравитации меняет и форму пространства? Пять лет. Стоит это запомнить — на случай, когда вдруг проглядите что-нибудь, что впоследствии покажется вам очевидным. Эйнштейн говорил: «Если б мы знали, что именно делаем, это не называлось бы исследованием, правда?» [247]
247
http://stripe.colorado.edu/~judy/einstein/science.html (июнь 1999).
Эйнштейн совершил логический переход к искривленному пространству летом 1912 года в Праге. Шел шестой год размышлений над созревающей теорией относительности. И опять этот шаг был сделан благодаря озарению. Эйнштейн писал: «Из-за лоренцева сокращения в системе отсчета, вращающейся относительно инерциальной, законы, действующие на твердые тела, не отвечают правилам евклидовой геометрии. Значит, евклидову геометрию нужно отставить…» [248] В переводе: «Когда движешься не по прямой, евликдова геометрия искажается».
248
Pais, стр. 213.
Представим Ханса Альберта уже десятилетним, но вновь на карусели. Предположим, его отцу, размещенному на неподвижной платформе, карусель видится идеальным кругом. Что сообщает нам специальная теория относительности о пространстве в заданных условиях? (Как и ранее, этот анализ не вполне строг, поскольку связан с применением специальной теории относительности к неравномерному движению.) Представьте, что в каждый момент времени от местоположения Ханса Альберта мы строим две перпендикулярные оси. Одна ось направлена радиально (вовне от карусели). Это направление действия силы, которую в этот миг ощущает Ханс Альберт. Ханс Альберт в этом направлении вовсе не движется — расстояние между ним и центром карусели неизменно. Другая ось — касательная к карусели. В любой заданный момент она указывает направление движения Ханса Альберта. Она всегда перпендикулярна направлению действия силы, которую чувствует мальчик.
Теперь, положим, отец бросает Хансу Альберту крошечный горизонтальный квадратик, и одна его сторона совпадает с радиусом карусели. Он просит Ханса Альберта пронаблюдать за фигурой и сообщить, какой она формы. Что же нам сообщит Ханс Альберт? То, что отцу представлялось квадратом, для него будет выглядеть как прямоугольник. Таков эффект лоренцева сокращения. Поскольку Ханс Альберт в каждый момент времени движется по касательной и никогда — вдоль радиуса, две стороны квадрата, параллельные касательной, сжимаются, а стороны, параллельные радиусу, — нет. Если бы Ханс Альберт измерил длину окружности и диаметр карусели в терминах этих длин соответственно, он обнаружил бы, что их соотношение не равно . Пространство Ханса Альберта искривлено. Его отец заключает, что евклидову геометрию необходимо отставить. Остается единственный вопрос: в пользу чего?