Фейнмановские лекции по физике 1. Современная наука о природе, законы механики
Шрифт:
Давайте рассмотрим классический пример с подбрасыванием монеты. Если монета «честная», то мы не можем знать наверняка, какой стороной она упадет. Однако мы предчувствуем, что ври большом числе бросаний число выпадений «орла» и «решки» должно быть приблизительно одинаковым. В этом случае говорят: вероятность выпадения «орла» равна половине.
Мы можем говорить о вероятности исхода только тех наблюдений, которые собираемся проделать в будущем. Под вероятностью данного частного результата наблюдения понимается ожидаемая нами наиболее правдоподобная доля исходов с данным результатом при некотором числе повторений наблюдения. Вообразите себе повторяющееся N раз наблюдение, например подбрасывание вверх монеты. Если NА – наша оценка наиболее правдоподобного числа выпадений с результатом А, например выпадений «орла», то под вероятностью Р(А) результата А мы понимаем отношение
PA=NA/N (6.1)
Наше определение требует некоторых комментариев. Прежде всего мы говорим о вероятности какого–то события только в том случае, если оно представляет собой возможный результат испытания, которое можно повторить. Но отнюдь не ясно, имеет ли смысл такой вопрос: какова вероятность того, что в этом доме поселилось привидение?
Вы, конечно, можете возразить, что никакая ситуация не может повториться в точности. Это верно. Каждое новое наблюдение должно происходить по крайней мере в другое время или в другом месте. По этому поводу я могу сказать только одно: необходимо, чтобы каждое «повторное» наблюдение казалось нам эквивалентным. Мы должны предполагать по крайней мере, что каждый новый результат наблюдения возник из равноценных начальных условий и из одного и того же уровня начальных знаний. Последнее особенно важно. (Если вы заглянули в карты противника, то, конечно, ваши прогнозы о шансах на выигрыш будут совсем другими, чем если бы вы играли честно!)
Хочу отметить, что я не собираюсь рассматривать значения N и NA в (6.1) только как результат каких–то действительных наблюдений. Число NA – это просто наилучшая оценка того, что могло бы произойти при воображаемых наблюдениях. Поэтому вероятность зависит от наших знаний и способностей быть пророком, в сущности от нашего здравого смысла! К счастью, здравый смысл не столь уже субъективен, как это кажется на первый взгляд. Здравым смыслом обладают многие люди, и их суждения о степени правдоподобия того или иного события в большинстве случаев совпадают. Однако вероятность все же не является «абсолютным» числом. Поскольку в каком–то смысле она зависит от степени нашего невежества, постольку с изменением наших знаний она может меняться.
Отмечу еще одну «субъективную» сторону нашего определения вероятности. Мы говорили, что NA – это «наша оценка наиболее вероятного числа случаев». При этом, конечно, мы не надеялись, что число нужных нам случаев будет в точности равно NA, но оно должно быть где–то близко к NA; это число более вероятно, чем любое другое. Если подбрасывать монету вверх 30 раз, то вряд ли можно ожидать, что число выпадений «орла» будет в точности 15; скорее это будет какое–то число около 15, может быть 12, 13, 14, 15, 16 или 17. Однако если необходимо выбрать из этих чисел какое–то одно число, то мы бы решили, что число 15 наиболее правдоподобно. Поэтому мы и пишем, что Р (орел) = 0,5.
Но почему все же число 15 более правдоподобно, чем все остальные? Можно рассуждать следующим образом: если наиболее вероятное число выпадений «орла» будет N0, а полное число подбрасываний N, то наиболее вероятное число выпадений «решек» равно N–N0. (Ведь предполагается, что при каждом подбрасывании должны выпасть только либо «орел», либо «решка» и ничего другого!) Но если монета «честная», то нет основания думать, что число выпадений «орла», например, должно быть больше, чем выпадений «решки»? Так что до тех пор, пока у нас нет оснований сомневаться в честности подбрасывающего, мы должны считать, что Np=N0, а следовательно, Np=N0=N/2, или Р(орел) = P(решка) = 0,5.
Наши рассуждения можно обобщить на любую ситуацию, в которой возможны m различных, но «равноценных» (т. е. равновероятных) результатов наблюдения. Если наблюдение может привести к m различным результатам и ни к чему больше и если у нас нет оснований думать, что один из результатов предпочтительнее остальных, то вероятность каждого частного исхода наблюдения А будет 1/m, т. е. Р(А) = 1/m.
Пусть, например, в закрытом ящике находятся семь шаров разного цвета и мы наугад, т. е. не глядя, берем один из них. Вероятность того, что у нас в руке окажется красный шар, равна 1/7. Вероятность того, что мы из колоды в 36 карт вытащим даму пик, равна 1/36, такая же, как и выпадение двух шестерок при бросании двух игральных костей.
• • •
В гл. 5 мы определяли размер ядра с помощью затеняемой им площади или так называемого эффективного сечения. По существу речь шла о вероятностях. Если мы «обстреливаем» быстрыми частицами тонкую пластинку вещества, то имеется некая вероятность, что они пройдут через нее, не задев ядер, однако с некоторой вероятностью они могут попасть в ядро. (Ведь ядра столь малы, что мы не можем видеть их, мы, следовательно, не можем прицелиться, и «стрельба» ведется вслепую.) Если в нашей пластинке имеется n атомов и ядро каждого из них затеняет площадь а, то полная площадь, затененная ядрами, будет равна na. При большом числе N случайных выстрелов мы ожидаем, что число попаданий NC будет так относиться к полному числу выстрелов, как затененная ядрами площадь относится к полной площади пластинки:
NC/N=?/A. (6.2)
Поэтому можно сказать, что вероятность попадания каждой из выстреленных частиц в ядро при прохождении сквозь пластинку будет равна
Pc=n?/A, (6.3)
где n/A – просто число атомов, приходящихся на единицу площади пластинки.
§ 2. Флуктуации
Теперь мне бы хотелось несколько подробнее показать, как можно использовать идею вероятности, чтобы ответить на вопрос: сколько же в самом деле я ожидаю выпадений «орла», если подбрасываю монету N раз? Однако, прежде чем ответить на него, давайте посмотрим, что все–таки дает нам такой «эксперимент». На фиг. 6.1 показаны результаты, полученные в первых трех сериях испытаний по 30 испытаний в каждой.
Фиг. 6.1. Последовательность выпадения «орла» и «решки».
Три серии опытов подбрасывания монеты по 30 раз в каждой серии.
Последовательности выпадений «орла» и «решки» показаны в том порядке, как это происходило. В первый раз получилось 11 выпадений «орла», во второй – тоже 11, а в третий – 16. Можно ли на этом основании подозревать, что монета была «нечестной»? Или, может быть, мы ошиблись, приняв 15 за наиболее вероятное число выпадений «орла» в каждой серии испытаний?
Сделаем еще 97 серий, т. е. 100 серий по 30 испытаний в каждой. Результаты их приведены в табл. 6.1.
Таблица б.1 • число выпадений «орла»
Проведено несколько серий испытаний, по 30 подбрасываний монеты в каждой
Взгляните на числа, приведенные в этой таблице. Вы видите, что большинство результатов «близки» к 15, так как почти все они расположены между 12 и 18. Чтобы лучше прочувствовать эти результаты, нарисуем график их распределения. Для этого подсчитаем число испытаний, в которых получилось k выпадений «орла», и отложим это число вверх над k. В результате получим фиг. 6.2.