Фейнмановские лекции по физике. 4. Кинетика. Теплота. Звук
Шрифт:
Фиг. 41.4. Распределение интенсивности излучения черного тела при двух температурах.
Сплошные кривые — согласно классической теории; пунктирные — настоящее распределение, 1— paдuo ; 2 — инфракрасное; 3 — видимое; 4 — ультрафиолетовое; 5 — рентгеновские лучи.
Она покажет нам, какова освещенность при разных частотах.
В выражение для интенсивности в ящике на единицу частоты входит, как видно, квадрат частоты; это значит, что если взять ящик при любой температуре, то в нем обнаружится бездна рентгеновских лучей!
Мы знаем, конечно, что это неверно. Когда мы открываем печку и заглядываем в нее, мы не портим глаз рентгеновскими лучами. Дальше — хуже, полная, энергия, ящика, полная интенсивность, просуммированная по всем частотам, должна быть площадью под этой уходящей в
Это значит, что классическая теория совершенно непригодна для правильного описания распределения излучения черного тела, так же как и для описания теплоемкостей газов. Физики ходили вокруг этого вывода, рассматривали его с различных точек зрения и не нашли выхода. Это предсказание классической физики. Уравнение (41.13) называется законом Рэлея, предсказано оно классической физикой и до очевидности абсурдно.
§ 3. Равномерное распределение и квантовый осциллятор
Только что отмеченная трудность — это еще одна сторона проблемы непрерывности в классической физике, она началась с непорядка в теплоемкостях газов, а потом эта проблема сконцентрировалась на распределении света в черном теле. Конечно, пока теоретики обсуждали эти вещи, производились еще и измерения настоящих кривых. И было установлено, что правильная кривая выглядит так, как пунктирные кривые на фиг. 41.4. Никаких рентгеновских лучей там нет. Если понижать температуру, то кривые приближаются, к оси абсцисс примерно так, как того требует классическая теория, но и при низкой температуре опытные кривые тоже в конце обрываются.
Таким образом, начало кривой распределения правильно описывает опыт, а ее высокочастотный конец сбивается с верного пути. Почему же так? Когда Джеймс Джинс размышлял о теплоемкостях газов, он заметил, что движение, совершаемое с большой частотой, «замерзает» при понижении температуры. Значит осциллятор не может обладать средней энергией kT, если температура слишком мала или если частота колебаний слишком велика. А теперь вспомним, как мы выводили (41.13). Все зависело от энергии осциллятора при тепловом равновесии. Когда мы подставляли kT в (41.5), это было то же kT, что и в (41.13), т. е. средняя энергия гармонического осциллятора частоты w при температуре Т. Классическая физика говорит, что она равна kT, а эксперимент отвечает: Нет! При очень низких температурах или при очень высоких частотах это не так. Таким образом, кривая падает по той же причине, что и теплоемкости газов. Кривую черного тела изучать легче, чем теплоемкости газов, где много сложностей, и мы сконцентрируем внимание на определении правильной кривой излучения черного тела, потому что эта кривая будет той кривой, которая расскажет нам, как средняя энергия гармонического осциллятора при любой его частоте зависит от температуры.
За изучение этой кривой взялся Планк. Сначала он нашел чисто эмпирический ответ, сравнивая опытную кривую с известными функциями, которые лучше всего эту кривую подгоняли. Таким образом, он получил эмпирическую формулу для средней энергии гармонического осциллятора как функцию температуры. Иначе говоря, он заменил kT правильной формулой, а потом нашел простой вывод этой формулы, правда, при очень странном предположении. Это предположение состоит в том, что гармонический осциллятор может поглотить за один прием только энергию hw. После этого нельзя и подумать, что осциллятор может обладать любой энергией. Конечно, это было началом конца классической физики.
Сейчас мы выведем первую правильную формулу квантовой механики. Предположим, что дозволенные уровни энергии гармонического осциллятора лежат на равном расстоянии hw0 друг от друга, поэтому осциллятор может обладать только одной из этих энергий (фиг. 41.5).
Фиг. 41.5, Уровни энергии гармонического осциллятора.
Отстоят друг от друга но равных расстояниям E n =nhw.
Аргументы Планка выглядят немного сложнее наших, ведь это было самым началом квантовой механики, и ему приходилось кое-что доказывать. Ну, а мы просто примем как факт (который Планк и установил), что вероятность того, что занят уровень энергии Е, равна Р(Е)=aехр(-E/kT). Исходя из этого, мы получим правильный результат.
Предположим, что у нас есть много осцилляторов и каждый колеблется с частотой w0. Некоторые из них находятся в низшем квантовом состоянии, другие забрались на уровень выше и т. д. Нам нужно знать среднюю энергию этих осцилляторов. Чтобы найти ее, давайте вычислим полную энергию всех осцилляторов и поделим результат на их число. Тогда мы получим среднюю энергию на осциллятор при тепловом равновесии, а это то же самое, что и энергия при равновесии с излучением черного тела, и ее надо подставить в уравнение. (41.13) вместо kT.
Пусть N0 — число осцилляторов в основном состоянии (состоянии с наименьшей энергией), N1— число осцилляторов в состоянии Е1, n2— число осцилляторов в состоянии E2и т. д. Согласно гипотезе (которую мы не доказали), классические выражения для вероятности ехр(-п. э./kT) или ехр(-к. э./kT) заменяются в квантовой механике на ехр(-DE/kT), где DE — разность энергий, Можно утверждать, что число осцилляторов в первом состоянии N1равно произведению числа молекул в основном состоянии N0на ехр(-hw/kT). Аналогично, n2(число молекул во втором состоянии) равно N2=N0exp(-2hw/kT). Чтобы упростить алгебру, введем х=ехр(-hw/kT). Тогда все выглядит очень просто:
N1=N0x, N2=N0x2 ..., Nn=N0xn.
Сначала найдем полную энергию всех осцилляторов. Если осциллятор находится в основном состоянии, его энергия нуль. Если он находится в первом состоянии, то его энергия равна hw0, а таких осцилляторов N1. Значит, в этом состоянии запасена энергия N1hw, или hwN0x. Энергия осциллятора во втором состоянии 2hw0, а осцилляторов N2, поэтому мы получаем такую энергию: N22hw=2hw0N0x2 и т. д. Сложив все это, найдем полную энергию Eполн=N0hw (0+х+2х2+Зx3+...). А сколько всего осцилляторов? В основном состоянии, конечно, N0, в первом состоянии Nlи т. д.; снова все сложим и получим Nвcе=N0(1+x+x2+x3+...). Поэтому средняя энергия равна