Чтение онлайн

на главную

Жанры

Фейнмановские лекции по физике. 4. Кинетика. Теплота. Звук
Шрифт:

Поскольку в каждой части стоит полный дифференциал, то интеграл уравнения таков:

lnN(t)=-t/t+ постоянная, (43.5)

или, что то же самое,

N(t)=(постоянная)еt/t. (43.6)

Мы знаем, что постоянная должна быть равна N0— полному числу молекул, потому что в начальный момент t=0 все моле­кулы ждут «следующего» удара. Мы можем записать наш результат в виде

N(t)=N0et/t. (43.7)

Если

мы хотим определить вероятность P(t) того, что молекула не испытает столкновений, нужно величину N(t) поделить на N0; тогда получим

P(t)=еt/t. (43.8)

Вот наш результат: вероятность того, что какая-то молекула сможет прожить время t, не столкнувшись, равна ехр(-t/t), где t — среднее время между столкновениями. Вероятность эта начинается с 1 (очевидности) при t=0 и уменьшается по мере того, как t становится все больше и больше. Вероят­ность того, что молекула избежит столкновений за время t, равна е– 1=0,37... Шансов выдержать дольше, чем среднее время между столкновениями, меньше половины. В этом нет ничего странного, потому что существует достаточно много молекул, которые избегают столкновений значительно дольше среднего времени между столкновениями, так что среднее время между столкновениями по-прежнему равно t,

Первоначально мы определили t как среднее время между столкновениями. Сформулированный в виде уравнения (43.7) результат говорит нам, что среднее время, отсчитываемое от произвольно взятого момента до следующего столкновения, также равно т. Этот несколько удивительный факт можно продемонстрировать следующим образом. Число молекул, которые испытают их следующее столкновение в промежутке dt, отсчитанного от времени t после произвольно взятого началь­ного времени, равно N(t)dt/t. Их «промежуток времени до сле­дующего столкновения» равен, конечно, t. «Среднее время до следующего столкновения» получается обычным образом:

Среднее время до следующего столкновения=

Используя полученное из (43.7) число N(t) и вычисляя интеграл, найдем, что tэто среднее время, отсчитанное от любого момента до следующего столкновения.

§ 2. Средняя длина свободного пробега

Есть еще возможность описать столкновения молекул, не вводя для этого времени между столкновениями. Можно оп­ределить, далеко ли успеет уйти частица между столкновениями. Если мы знаем, что среднее время между столкновениями равно t, а средняя скорость молекул равна v, то очевидно, что среднее расстояние между столкновениями, которое мы обозначим бук­вой l, равно произведению t и v;. Это расстояние между столк­новениями обычно называют длиной свободного пробега:

Длина свободного пробега l=tv. (43.9)

В этой главе мы не будем уточнять, какого рода среднее мы имеем в виду в каждом случае. Существующие разные средние — среднее, корень из среднего квадрата и т. д.— приблизительно равны и отличаются только множителями, близкими к единице. Поскольку для получения правильных множителей необходим подробный анализ, нам нет смысла очень уж стараться уточнять, какое именно среднее исполь­зуется в том или ином случае. Мы хотим еще предупредить читателей, что используемые для обозначения физических величин алгебраические символы (например, l для длины сво­бодного пробега) не являются общепринятыми просто потому, что об этом никто еще специально не договаривался.

Вероятность того, что молекула испытает столкновение, пройдя расстояние dx, равна dx/l, как вероятность столкно­вения за короткий промежуток времени dt равна dt/t. Призвав на помощь те же аргументы, что и раньше, читатель сможет показать, что вероятность того, что молекула пройдет по крайней мере расстояние х, прежде чем испытает следующее столк­новение, равна ех/l.

Среднее расстояние, которое молекула проходит между столкновениями (длина свободного пробега l), зависит от коли­чества молекул, ее окружающих, и от того, какого «размера» эти молекулы, т. е. от того, насколько уязвимую мишень пред­ставляют они собой. «Размеры» мишени при столкновениях обычно описывают при помощи «эффективного сечения столк­новений»; эта же идея используется и в ядерной физике или в задачах о рассеянии света.

Рассмотрим движущуюся частицу, которая проходит рас­стояние dx внутри газа, содержащего n0рассеивателей (молекул) в единичном объеме (фиг. 43.1).

Фиг. 43,1. Эффективное сечение столкновения.

На каждой площадке единичной площади, перпендикулярной к направлению движения вы­бранной нами частицы, имеется n0dx молекул. Если каждая может быть представлена эффективной площадью столкновения, или, как обычно говорят, «эффективным сечением столкно­вения» sс, то полная площадь, покрываемая рассеивателями, равна scn0dx.

Под «эффективным сечением столкновения» понимается площадь, в которую должен попасть центр частицы, если она должна столкнуться с заданной молекулой. Если моле­кулы выглядят как маленькие шарики (классическая кар­тина), то следует ожидать, что sс=p(r1+r2)2, где r1и r2радиусы двух сталкивающихся молекул. Вероятность того, что наша частица столкнется с какой-нибудь молекулой, равна отношению площади, покрываемой рассеивающими молеку­лами, к полной площади, принятой нами за единицу. Та­ким образом, вероятность столкновения на пути dx равна sсn0dx:

Поделиться:
Популярные книги

Виконт. Книга 2. Обретение силы

Юллем Евгений
2. Псевдоним `Испанец`
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
рпг
7.10
рейтинг книги
Виконт. Книга 2. Обретение силы

Вираж бытия

Ланцов Михаил Алексеевич
1. Фрунзе
Фантастика:
героическая фантастика
попаданцы
альтернативная история
6.86
рейтинг книги
Вираж бытия

На границе империй. Том 10. Часть 3

INDIGO
Вселенная EVE Online
Фантастика:
боевая фантастика
космическая фантастика
попаданцы
5.00
рейтинг книги
На границе империй. Том 10. Часть 3

Лорд Системы 14

Токсик Саша
14. Лорд Системы
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
рпг
5.00
рейтинг книги
Лорд Системы 14

Все еще не Герой!. Том 2

Довыдовский Кирилл Сергеевич
2. Путешествие Героя
Фантастика:
боевая фантастика
юмористическое фэнтези
городское фэнтези
рпг
5.00
рейтинг книги
Все еще не Герой!. Том 2

Кровь, золото и помидоры

Распопов Дмитрий Викторович
4. Венецианский купец
Фантастика:
альтернативная история
5.40
рейтинг книги
Кровь, золото и помидоры

Live-rpg. эволюция-5

Кронос Александр
5. Эволюция. Live-RPG
Фантастика:
боевая фантастика
5.69
рейтинг книги
Live-rpg. эволюция-5

Измена

Рей Полина
Любовные романы:
современные любовные романы
5.38
рейтинг книги
Измена

Граф Рысев

Леха
1. РОС: Граф Рысев
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Граф Рысев

Сильнейший ученик. Том 2

Ткачев Андрей Юрьевич
2. Пробуждение крови
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Сильнейший ученик. Том 2

Не верь мне

Рам Янка
7. Самбисты
Любовные романы:
современные любовные романы
5.00
рейтинг книги
Не верь мне

Кодекс Охотника. Книга XVIII

Винокуров Юрий
18. Кодекс Охотника
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Охотника. Книга XVIII

Физрук: назад в СССР

Гуров Валерий Александрович
1. Физрук
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Физрук: назад в СССР

Истинная поневоле, или Сирота в Академии Драконов

Найт Алекс
3. Академия Драконов, или Девушки с секретом
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
6.37
рейтинг книги
Истинная поневоле, или Сирота в Академии Драконов