Фейнмановские лекции по физике. 4. Кинетика. Теплота. Звук

Фейнман Ричард Филлипс

Вероятность столкновения на пути dx =sn₀ dx. (43.10)

Мы уже отметили раньше, что вероятность столкновения на пути dx может быть записана в терминах длины свобод­ного пробега l как dx/l. Сравнивая это с (43.10), можно связать длину свободного пробега с эффективным сечением столкновения:

1/l= s_cn₀. (43.11)

Это равенство легче запомнить, если записать его так:

s_сn₀l = 1. (43.12)

Эта формула говорит, что если частица проходит путь I внутрь рассеивателя, в котором молекулы могут как

раз покрыть всю площадь, то в среднем происходит одно столк­новение. В цилиндре высотой l, поставленном на основание единичной площади, содержится n₀l рассеивателей; если каж­дый из них занимает площадь s_с, то полная площадь, покрытая ими, равна n₀ls_c, а это как раз единичая площадь. Конечно, молекулы не покрывают всей площади целиком, потому что часть молекул прячется за соседние молекулы. Поэтому не­которые молекулы пройдут между столкновениями большее, чем l, расстояние. Ведь это только в среднем молекулам между столкновениями дается ровно столько времени, чтобы они смогли пройти расстояние l. Измеряя длину свободного про­бега l, можно определить эффективное сечение рассеяния s_cи сравнить этот результат с расчетами, основанными на де­тальной теории строения атомов. Но это уже совсем другая тема! А пока вернемся к проблеме неравновесных состояний.

§ 3. Скорость дрейфа

Мы хотим описать поведение одной или нескольких молекул, которые чем-то отличаются от огромного большинства осталь­ных молекул газа. Будем называть «большинство» молекул молекулами «фона», а отличающиеся от них молекулы получат название «особых» молекул, или (для краткости) S-молекул. Молекула может быть особой по целому ряду причин: она может быть, скажем, тяжелее молекул фона. Может она отли­чаться от них также химическим составом. А, может быть, особые молекулы несут электрический заряд — тогда это будет ион на фоне нейтральных молекул. Из-за необычности масс или зарядов на S-молекулы действуют силы, отличающиеся от сил между молекулами фона. Изучая поведение S-молекул, можно понять основные эффекты, которые вступают в игру во многих разнообразных явлениях. Перечислим некоторые из них: диффузия газов, электрический ток в батарее, осаждение, разделение при помощи центрифуги и т. д.

Начнем с изучения основного процесса: на S-молекулу в газе из молекул фона действуют какая-то особая сила F (это может быть сила тяжести или электрическая сила) и, кроме того, более обычные силы, обусловленные столкновениями с молекулами фона. Нас интересует общий характер поведения S-молекулы. Детальное описание ее поведения — это непре­рывные стремительные удары и следующие одно за другим столкновения с другими молекулами. Но если проследить внимательно, то станет ясно, что молекула неуклонно движется по направлению силы F. Мы говорим, что дрейф накладывается на беспорядочное движение. Но нам хотелось бы знать, как зависит скорость дрейфа от силы F.

Если в какой-то произвольный момент времени начать на­блюдать за S-молекулой, то можно надеяться, что попали мы как раз где-то между двумя столкновениями. Это время молекула употребит на то, чтобы в дополнение к скорости, оставшейся у нее после всех столкновений, увеличить состав­ляющую скорости вдоль силы F. Немного погодя (в среднем через время t) она снова испытает столкновение и начнет двигаться по новому отрезку своей траектории. Стартовая скорость, конечно, будет другой, а ускорение от силы F оста­нется неизменным.

Чтобы упростить сейчас дело, предположим, что после каж­дого столкновения наша S-молекула выходит на совершенно «свободный» старт. Это значит, что у нее не осталось никаких воспоминаний о прежних ускорениях под действием силы F. Та­кое предположение было бы разумным, если бы наша S-моле­кула была намного легче молекул фона, но это, конечно, не так. Позднее мы обсудим более разумное предположение.

А пока предположим, что все направления скорости S-молекулы после каждого столкновения равновероятны. Стартовая скорость имеет любое направление и не может дать никакого вклада в результирующее движение, поэтому мы не будем принимать во внимание начальную скорость после каждого столкновения. Но, кроме случайного движения, каждая S-молекула в любой момент имеет дополнительную скорость в направлении силы F, которая увеличивается со времени по­следнего столкновения. Чему равно среднее значение этой части скорости? Оно равно произведению ускорения F/m (где т — масса S-молекулы) на среднее время, прошедшее с момента последнего

столкновения. Но среднее время, протекшее после последнего столкновения, должно быть равно среднему времени перед следующим столкновением, которое мы уже обозначили буквой t. Средняя скорость, порождаемая силой F,— это как раз скорость дрейфа; таким образом, мы пришли к соотношению

V_др=Ft/m. (43.13)

Это наше основное соотношение, главное во всей главе. При нахождении t могут появиться всякого рода усложнения, но основной процесс определяется уравнением (43.13).

Обратите внимание, что скорость дрейфа пропорциональна силе. К сожалению, о названии для постоянной пропорцио­нальности еще не договорились. Коэффициент перед силой каждого сорта имеет свое название. В задачах, связанных с электричеством, силу можно представить как произведение заряда на электрическое поле: F=qE; в этом случае постоянную пропорциональности между скоростью и электрическим полем Е называют «подвижностью». Несмотря на возможные недоразу­мения, мы будем применять термин подвижность для отноше­ния скорости дрейфа к силе любого сорта. Будем писать

v_др=mF (43.14) и называть m, подвижностью. Из уравнения (43.13) следует

m=t/m. (43.15)

Подвижность пропорциональна среднему времени между столк­новениями (редкие столкновения слабо тормозят S-молекулу) и обратно пропорциональна массе (чем больше инерция, тем медленнее набирается скорость между столкновениями).

Чтобы получить правильный численный коэффициент в уравнении (43.13) (а у нас он верен), нужна известная осто­рожность. Во избежание недоразумений нужно помнить, что мы используем коварные аргументы, и употреблять их можно только после осторожного и детального изучения. Чтобы пока­зать, какие бывают трудности, хотя по виду вроде все благопо­лучно, мы снова вернемся к тем аргументам, которые привели к выводу уравнения (43.13), но эти аргументы, которые вы­глядят вполне убедительно, приведут теперь к неверному резуль­тату (к сожалению, такого рода рассуждения можно найти во многих учебниках!).

Можно рассуждать так: среднее время между столкнове­ниями равно т. После столкновения частица, начав двигаться со случайной скоростью, набирает перед следующим столкно­вением дополнительную скорость, которая равна произведению времени на ускорение. Поскольку до следующего столкновения пройдет время t, то частица наберет скорость (F/m)t. В момент столкновения эта скорость равна нулю. Поэтому средняя ско­рость между двумя столкновениями равна половине окончательной скорости, а средняя скорость дрейфа равна ¹/₂Ft/m. (Неверно!) Этот вывод неверен, а уравнение (43.13) правильно, хотя, казалось бы, в обоих случаях мы рассуждали одинаково убедительно. Во второй результат вкралась довольно коварная ошибка: при его выводе мы фактически предположили, что все столкновения отстоят друг от друга на время t. На самом деле некоторые из них наступают раньше, а другие позже этого времени. Более короткие времена встречаются чаще, но их вклад в скорость дрейфа невелика, потому что слишком мала в этом случае вероятность «реального подталкивания вперед». Если при­нять во внимание существование распределения свободного вре­мени между столкновениями, то мы увидим, что множителю ¹/₂, полученному во втором случае, неоткуда взяться. Ошибка произошла из-за того, что мы, обманувшись простотой аргу­ментов, попытались слишком просто связать среднюю скорость со средней конечной скоростью. Связь между ними не столь уж проста, поэтому лучше подчеркнуть, что нам нужна средняя скорость сама по себе. В первом случае мы с самого начала искали среднюю скорость и нашли ее верное значение! Быть может, теперь вам понятно, почему мы не пытались найти точ­ного значения всех численных коэффициентов в наших элемен­тарных уравнениях?

Вернемся к нашему предположению о том, что каждое столкновение полностью стирает из памяти молекулы все о былом ее движении и что после каждого столкновения для молекулы начинается новый старт. Предположим, что наша S-молекула — это тяжелый объект на фоне более легких мо­лекул. Тогда уже недостаточно одного столкновения, чтобы отобрать у S-молекулы ее направленный «вперед» импульс. Только несколько последовательных столкновений вносят в ее движение «беспорядок». Итак, вместо нашего первоначального рассуждения предположим теперь, что после каждого столк­новения (в среднем через время т) S-молекула теряет опре­деленную часть своего импульса. Мы не будем исследовать детально, к чему приведет такое предположение. Ясно, что это эквивалентно замене времени t (среднего времени между столкновениями) другим, более длинным t, соответствующим среднему «времени забывания», т. е. среднему времени, за которое S-молекула забудет о том, что у нее когда-то был импульс, направленный вперед. Если понимать tтак, то можно использовать нашу формулу (43.15) для случаев, не столь простых, как первоначальный.