Хаос и структура
Шрифт:
Математики говорят—очень выразительно — еще и так. Дифференциал функции есть функция двух разных переменных, ибо и производная, и произвольное приращение x тут совершенно независимы друг от друга. Произвольное приращение независимого переменного потому и называется произвольным, что оно не связано здесь никакими условиями. х входившее у нас для получения производной, как бесконечно–малое не имеет ничего общего с нашим теперешним ‹у.
Предыдущее определение дифференциала функции мы можем определить и несколько иначе, давши более симметричную формулу. А именно, что такое это Чтобы ответить на этот вопрос, определим, что такое был бы дифференциал от х, т. е. для случая, если функцией от является сам же Так как производная от самого независимого переменного равняется единице, то приведенную выше формулу мы можем переписать так:
dx=x,
т. е. для случая, когда есть независимое переменное, можно писать:
dy=y'dx.
Другими словами, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимого
2. Надо сказать, что, давая столь ясное и безупречное построение, математики очень мало сделали для его логического разъяснения (да они едва ли и были обязаны это делать, так что насколько формально ясна и отчетлива математическая идея дифференциала, настолько неясна и неотчетлива она логически).
Что такое дифференциал функции? Самое грубое разъяснение этого заключалось бы в том, что это — обыкновенная конечная величина. Позитивисты из математиков так обыкновенно и бахвалятся, что–де тут и задумываться не над чем: дифференциал, если его вычислить, есть 1, 2, 3 или какое–нибудь другое число или величина. По–видимому, это очень примитивное суждение. Таким образом можно аннулировать весь математический анализ, так как производная тоже может быть конечной величиной, интеграл — гоже конечная величина, всякий предел тоже есть нечто конечное или по крайней мере точно установленное, постоянное и т. д. и т. д. Математическое опровержение этого заключается в том, что дифференциал есть не просто величина, но—функция, т. е. предполагает наличие определенного закона получения этой величины. Кроме того, дифференциал даже и в виде функции отнюдь не всегда имеет определенное значение. Известны такие непрерывные функции, которые не во всех своих точках дифференцируемы, т. е. соответствующая им кривая не везде имеет касательную. Такие функции дифференцируются, т. е. имеют производную, но эта производная не во всех точках обладает определенным значением. Однако раз есть производная, есть и дифференциал, и раз производная не везде обладает определенным значением, то и дифференциал такой функции отнюдь не везде получает точное и определенное значение. Таким образом, сказка о дифференциале функции как о той или иной только конечной величине рушится сама собой.
Кроме того, если бы дифференциал был только конечной величиной, то это означало бы, что в определение интеграла нельзя вводить дифференциала, ибо иначе всякий интеграл оказался бы бесконечно большой величиной, потому что интеграл получается из дифференциала в результате предельного суммирования бесконечно умаляющихся величин. На самом же деле интеграл может сколько угодно быть конечной величиной. Следовательно, дифференциал отнюдь не есть нечто конечное в абсолютном смысле. Из того, что он может быть выражен конечным образом, отнюдь не вытекает конечность его собственной природы. В том, что мы чертим окружность, нет ровно ничего иррационального: взял циркуль и — черти. Но это еще не значит, что отношение окружности к диаметру есть рациональное число. При всей внешней конечности окружности, при всей простоте ее чертежа отношение ее длины к диаметру, оказывается, невозможно выразить никаким конечным числом знаков. Таким образом, конечность дифференциала не есть нечто абсолютное и она совсем не характеризует его сущности.
Вместе с тем категория дифференциала, разумеется, как–то связана с конечным. Какой–то конечный элемент входит в эту категорию, поскольку он есть функция производной (которая может быть конечной) и вполне произвольного приращения аргумента (которое здесь, следовательно, тоже может мыслиться и конечным). Таким образом, конечность входит в понятие дифференциала, но не исчерпывает его.
Часто можно встретить такое определение дифференциала. Это, говорят, есть бесконечно–малая величина, характеризующая приращение функции. Это определение также не исчерпывающе для дифференциала. Во–первых, дифференциал вовсе не есть только просто величина, но предполагает определенный принцип получения этой величины. Во–вторых, бесконечно–малое указывает не просто на величину, а на процесс бесконечного и непрерывного уменьшения величины. Дифференциал в этом случае всегда только и был бы процессом уменьшения. А по определению, дифференциал фактически выступает именно в качестве конечного (хотя, как мы установили выше, и не только в качестве конечного). Конечное никак невозможно исключить из дифференциала. А чистая процессуаль–ность как раз исключает.
В старые наивные времена, до Коши, появлялась мысль, что дифференциал есть просто нуль. Так рассуждал ни больше и ни меньше как великий Эйлер. Но как же это может быть? Ведь если всерьез принимать дифференциал за нуль, то дифференциальное частное было бы А это сами математики считают неопределенностью. Куда же делась бы в таком случае производная? Ведь производная связана не с нулями, а с приближением функции и аргумента к нулю. А это огромная разница. Если мы дифференциал объявим нулем, а потом будем вместе с математиками «раскрывать неопределенность» этого
208
то же через то же (лат.).
Однако даже и мнение Эйлера я бы не отбросил целиком.
Рациональное зерно его заключается в том, что при рассмотрении
Итак, дифференциал не есть ни конечная величина, ни бесконечная, ни самый процесс становления конечности или бесконечности, ни нуль. Что же это такое? Кроме того, элементы конечности, элементы бесконечности, элементы становления и даже нуля, несомненно, наличны в понятии дифференциала. И все–таки он не есть ни одно из этих определений. И напрасно математики старались и стараются такими способами понять категорию дифференциала, столь ясную и понятную формально–математически. Необходимо какое–то объединение всех этих четырех моментов, чтобы получить ясный логический смысл дифференциала. Но что же это за объединение?
3. Дифференциал функции есть функция двух переменных — производной от данной функции и произвольного приращения аргумента. Что это значит?
Прежде всего, как участвует в дифференциале функции ее производная? Производная есть предел, — мы знаем чего именно. Что такое предел? Уже и относительно предела возникают, как мы знаем, многие из тех сомнений, которые затемняют категорию дифференциала. Уже и предел многие готовы понять как просто конечную величину, как будто бы 1, 2, 3 и т. д. уже в силу своей конечности есть некие пределы. Но поскольку понятие предела гораздо проще и понятнее дифференциала, то обыкновенно и не входят глубоко в логический анализ этого понятия. Что ж тут объяснять? Вот предел; а вот то, что к нему стремится. И — все ясно. Но на самом же деле это, как мы видели в логической теории предела, вовсе не так ясно и просто. Предел логически имеет значение только вместе с бесконечным и непрерывным процессом приближения к нему его инобытия. Иначе это не предел, а просто конечное число. Предел, как мы видим, есть — в логическом смысле— обязательно синтез конечного и бесконечного, и не просто синтез вообще, а некоторого рода специальный синтез, ибо становление тоже есть синтез конечного и бесконечного; да и само конечное тоже ведь только с наивно–метафизической точки зрения является просто конечным, и больше ничего. Только наивно–мстафизи–чески можно было бы гипостазировать категорию конечного в отрыве от всего прочего. На самом же деле всякое конечное число, даже единицу, как мы видели, можно представить состоящим из бесконечного количества отдельных достаточно мелких элементов. И всякий отрезок прямой, как бы он мал ни был в абсолютном смысле, состоит из бесконечного количества отрезков достаточно малых. Значит, тот синтез конечного и бесконечного, который характерен для предела, есть специфический синтез конечного и бесконечного. Это именно есть синтез достигнутости конца для бесконечного процесса; это ставшее того бесконечного становления, в котором находилось конечное. Тут важна пройденность бесконечного пути, чего нет в других указанных только что синтезах конечного и бесконечного. Однако не будем входить здесь в детали и ограничимся тем, что просто назовем этот синтез синтезом предела или предельным синтезом. Он прежде всего и возникает, когда речь заходит о дифференциале.
Итак, дифференциал функции как функция ее производной есть прежде всего функция синтеза предела, функция предельного синтеза. Этот момент чрезвычайно важен. Он указывает на то, что нечто правильное было в этих наивных исканиях математиков, когда дифференциал объявлялся то конечной, то бесконечной величиной, то нулем. Поскольку дифференциал есть определенная функция некоей предельности, уже одно это свидетельствует о том, что в дифференциале есть и нечто конечное, и нечто бесконечное, и даже нуль. Конечное и бесконечное содержится, как мы сейчас установили, во всяком пределе. А нуля не избежать потому, что производная (в виде которой и фигурирует предельность дифференциала) есть предел отношения величин, именно стремящихся к нулю. Таким образом, математики, дававшие указанные выше понимания дифференциала, не были абсолютно не правы, а давали только односторонние понимания.