Хаос и структура

Лосев Алексей Федорович

Приведем пример сложнее. Вот у нас имеется понятие кривой второго порядка, или, что то же, понятие конического сечения. Имеется общее уравнение кривой второго порядка. Если мы возьмем дискриминант старших членов этого уравнения, то в зависимости от знака этого дискриминанта мы будем получать или гиперболу, или параболу, или эллипс. Когда этот дискриминант меньше нуля, мы имеем гиперболу. Когда он равен нулю, мы имеем параболу. Когда он больше нуля, получается эллипс (окружность является частным случаем эллипса). Здесь опять мы имеем видоразличие не как застывшую сумму признаков (а в традиционной логике мы часто не в силах перечислить даже эти застывшие признаки видовых понятий, как в приведенном выше примере с «европейцами»), но здесь мы получаем один вид из другого путем планомерного изменения этого последнего: в этом делении дан закон возникновения видов, а не просто эти виды в застывшем и абсолютно изолированном виде.

Возьмем деление движений в механике. Имеется общее уравнение динамики: сила равна произведению массы на ускорение. Беря различные силы, мы и получаем различные виды движения. Если к материальной

точке приложена только одна упругая сила, то, подставляя ее в это уравнение и в дальнейшем интегрируя это последнее (т. е. переходя от ускорения данной точки к ее координатам как функциям времени, или, другими словами, к самому закону ее движения), мы увидим, что наша точка совершает т. н. гармоническое колебание. Если кроме упругой силы к данной точке приложена еще какая–нибудь сила сопротивления, напр. пропорциональная первой степени скорости, то — после тех же математических операций—мы увидим, что колебание движущейся точки окажется затухающим. Если материальная точка притягивается к какому–нибудь телу с силой, прямо пропорциональной массе и обратно пропорциональной квадрату расстояния до этого тела, то наша точка будет двигаться вокруг этого тела по одной из кривых второго порядка. И т. д. и т. д. Словом, сколько существует разных сил, столько же, вообще говоря, и видов движения. И этих сил, этих движений бесконечное множество. Правда, в данном примере мы имеем дело с дискретными силами и не ставим вопроса об их взаимном переходе, так что не возникает вопроса и о взаимопереходе движений. Но даже и при таком подходе мы здесь получаем все же замечательный образец деления, логическое совершенство которого несоизмеримо с логической слабостью традиционной теории. Ведь тут обычно все же есть некоторого рода закон для частного. Варьируя это общее—пусть даже дискретно, — мы получаем каждый раз оригинальные частности, не говоря уже о том, что само это варьирование есть совершенная логическая точность.

Изучение различных математических наук и приучение своего ума к такому более совершенному логическому оперированию с родом и видом неизбежно приводят и к категории интеграла как к одному из весьма совершенных и четких выражений общности вместо традиционного ящичного и внешне–механического объединения частностей в общем. Приведенные примеры из математики и механики показывают, что более тонкое и, можно сказать, животрепещущее понимание общего пронизывает даже элементарные отделы этих наук, не имеющих никакого отношения к понятию интеграла. Интеграл же только суммирует в себе ряд принципов, действующих то там, то здесь по всей математике. В прекрасной и совершенной логической форме интеграл дает нам такую общность, которая 1) возникает из частностей в условиях их сплошной текучести и взаимопроникновения и которая 2) есть предел их взаимослияния, служащий законом и принципом этого последнего. Эти моменты в логическом определении интеграла, взятые сами по себе, чрезвычайно просты и вполне очевидны: непрерывность, предел, закономерное появление частного из общего (когда общее рассматривается как функция вещи)—разве это может считаться для нас чем–то неожиданным и маловероятным? А ведь это и есть не что иное, как интеграл. Это и есть понятие как интеграл и мышление как сплошное дифференцирование и интегрирование.

12. ПРОИЗВОДНАЯ, ДИФФЕРЕНЦИАЛ И ИНТЕГРАЛ НА ФОНЕ ОБЩЕГО УЧЕНИЯ О ЧИСЛЕ

Выше мы уже натолкнулись на существенное логическое тождество дифференциала и интеграла. С известной точки зрения к этому тождеству присоединяется и производная. Указать существенное место для каждой такой категории—значит иметь ясное представление, что такое число вообще. Кроме того, здесь мы как раз встречаемся в лоб с тем приматом практики над теорией, который очень часто отодвигается на задний план именно в наиболее конкретных вопросах. Очень легко выставить этот примат как знамя, как ярлык, как принцип. Но чем конкретнее научная область, тем обыкновенно все меньше и меньше заговаривают об этом примате. Сейчас мы увидим, что наше исследование строится как раз обратно: чем конкретнее рассуждение о числе, тем ярче выступает у нас примат практики над теорией.

1. Но прежде всего отдадим себе отчет в том, что именно заставляет нас отождествлять дифференциал и интеграл.

Мы видели, что то и другое есть синтез конечного и бесконечного. Заметим к этому (хотя для нашего внимательного читателя это, собственно говоря, излишне), что мы вообще не мыслим ни конечного, ни бесконечного без их синтеза и тождества. Только абстрактная метафизика разрывает эти категории окончательно и гипостазирует, абсолютизирует каждое из них в отдельности и в отрыве одно от другого. Для нас все конечное, как бы оно мало ни было (пусть это будет мельчайший отрезок прямой), уже обязательно содержит в себе бесконечность (бесконечность еще меньших отрезков или точек); и мы не мыслим себе никакого бесконечного, которое бы не было>в то же самое время в некотором смысле конечным. Уже здесь становится заметным, что понимание этого неделимого синтеза и тождества то как конечного, то как бесконечного никак не может быть голой теорией (ибо теория тут одинаково говорит и за бесконечное, и за конечное), а является только практикой, решается практикой. Однако сейчас мы этого касаться не будем и только констатируем, что тождество конечного и бесконечного неизбежно и что, в частности, оно же лежит в основе и дифференциала, и интеграла, и производной. В анализе без него обойтись нельзя уже потому, что все эти три последние категории существенно связаны с пределом. Интеграл прямо есть предел и в качестве такового определяется даже в элементарных руководствах. Дифференциал же, правда, так не определяется, но это—только недоразумение. Ведь сами же руководства, определяя дифференциал,

говорят нам: пусть мы имеем готовую, как бы то ни было полученную производную, и потом оказывается, что эта производная есть не что иное, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Но тогда что же такое эти дифференциалы? Ведь то, что производная есть известного рода предел, этого–То математики уже во всяком случае не могут отрицать. А это значит, что и отношение данных дифференциалов есть предел, или, другими словами, что и каждый из них тоже в некотором смысле как–то связан с пределом. Ведь не могут же числитель и знаменатель дроби не иметь никакого отношения к тому частному, которое получается от деления числителя на знаменатель. Значит, дифференциал функции по меньшей мере связан с тем пределом, которым является производная этой функции. Пусть мы не будем говорить, как именно он связан, но самая связь эта, очевидно, отрицаться ни в каком случае не может.

Итак, категория дифференциала указывает на некоторого рода предельный переход. Предельный переход есть переход при помощи бесконечного становления. Следовательно, поскольку самый–то предел есть нечто конечное, необходимо с полной точностью утверждать, что он есть синтез конечного и бесконечного и что в этом пункте он совершенно неотличим от интеграла, который тоже есть некоторого рода предел.

Остается сюда же присоединить и саму производную, которая тоже есть некоторого рода предел. Значит, в смысле общего синтеза конечного и бесконечного производная, дифференциал и интеграл совершенно тождественны.

Это интересным образом запутывает все дело; и математики забавно барахтаются в этой логической путанице, несмотря на кристальную математическую ясность их построения. Можно, конечно, исключить момент предельности из дифференциала, пользуясь тем методом, когда говорят, что солнце нужно только ночью, так как днем же и без него видно. Правда, тогда дифференциал ничем не отличишь от бесконечно–малого просто. Но иные готовы и на это, только бы не понимать дифференциал вместе с пределом. Путаница эта забавная.

К этому надо присоединить и еще одно обстоятельство, тоже не благоприятствующее ясности. Могут сказать, что если даже все эти три категории есть пределы, то во всяком случае разные пределы. Однако мы тогда спросим: чем же они разные? То, что они могут быть разными в арифметическом смысле, т. е. в смысле конечных чисел, это, разумеется, не может здесь иметься в виду, так как конечные количественные различия не создают разных категорий даже и в самой арифметической области. Но может быть, эти три категории различны своей бесконечностью? Так говорить тоже едва ли имеет смысл. Ведь бесконечность во всех трех случаях есть только непрерывное становление предела. Как таковое оно совершенно одинаково в трех случаях. Может быть, это бесконечное становление происходит тут разными способами? Несомненно. Но разный способ приближения к пределу тоже не может создать тут особых категорий предела. Этот способ приближения к пределу так же нехарактерен для категории предела, как и бесконечное многообразие арифметических операций не создает новой категории конечного числа, а относится к ней как к одной и единственной.

Выходит дело, что ни конечными средствами, ни бесконечными, ни, следовательно, средствами синтеза конечного и бесконечного никак нельзя провести разницы между производной, дифференциалом и интегралом. Скажут: позвольте, дифференциал функции вовсе не есть ее производная (в общем случае); это произведение производной на произвольное приращение аргумента! Однако я не знаю, что тут нового дает произведение. Пусть будет у нас производная 2х. Пусть произвольное приращение аргумента будет 5. Я не понимаю, что тут «дифференциального» в IOjc. И чем принципиально 2х отличается от 10х? Юл: в пять раз больше 2х. Так что же, значит, везде, где в арифметике и алгебре мы умножаем какое–нибудь выражение на 5, мы тем самым уже получаем «дифференциал»? Точно так же если интегралом для 2х является х², то я опять–таки никакого принципиального различия между 2х и х² не вижу. Это элементарная алгебра; и при чем тут анализ, я не знаю.

Совершенно очевидно, что все эти внешние математические операции имеют какой–то не просто математический, а логический смысл. И в этом–то «смысле» и заключается все дело. Именно его математики имеют в виду, когда говорят о производной, дифференциале и интеграле. Формулы же здесь только результат этих смысловых операций. Надо осмыслить этот результат сознательно, подобно тому как математики осмысливают его бессознательно. Нет ничего проще для математика, как «перейти к пределу». Однако логически это весьма сложная операция. Математик в противоречии со своей сознательной теорией бессознательно думает, что к пределу можно перейти путем каких–нибудь операций. Однако сущность предела как раз в том и заключается, что совершенно нельзя перейти к нему путем тех или других математических операций. Сколько бы мы ни вычисляли квадратный корень из двух или отношение длины окружности к диаметру, мы именно никогда не придем ни к какому пределу. Надо же в конце концов усвоить себе эту основную идею предела. Переход от переменной величины, связанной каким–нибудь пределом, к самому пределу есть переход к новой логической категории, которую никакими вычислениями получить совершенно невозможно. Это логический скачок, а не математическая операция внутри одной и той же логической категории. Так логика властно врывается в математику, путая все математические карты и превращая стройную математическую теорию в полный хаос. И надо во что бы то ни стало выбраться из этого хаоса, из установленной выше путаницы—путем систематического логического учения о числе вообще. Иного пути не видится. Только точнейшим образом отграничившись от всех соседних математических категорий, можно претендовать на ясность этих категорий производной, дифференциала и интеграла.