Избранные научные труды

Бор Нильс Хенрик Давид

¹ N. Воhr. Phil. Mag., 1913, 25, 10 (статья 4). Далее эта работа будет обозначаться как I

² К. Неrzfеld. Phys. Zs., 1912, S. 547.

³ Я только что получил возможность ознакомиться с недавно опубликованной статьей Л. Фламма (Sitzungsber. d. К. Akad. Wiss. Wien, Mat.-nat. Kl., 1914, 123, 11a), который также обсуждал в ней вопросы о вероятности пробегов -частиц в воздухе на основе тех же предположений, которые используются в настоящей статье, и получил некоторые результаты, изложенные здесь в § 2 (см. прим, на стр. 232).— Прим. авт. при корректуре.

⁴ J. J. Thomson. Phil. Mag., 1912, 23, 449.

§ 1. Среднее значение величины скорости торможения

Для лучшего понимания дальнейшего кратко изложим

здесь расчёты, проведенные в предыдущей статье. В ней же можно найти и ссылки на более раннюю литературу по этому вопросу.

Предположим, следуя Эрнесту Резерфорду, что атом состоит из центрального ядра, имеющего положительный заряд и окружающего его роя отрицательных электронов, удерживаемых силами притяжения к ядру. В ядре сосредоточена практически вся масса атома, но его размеры ничтожно малы по сравнению с размерами окружающего его роя электронов. Если - или -частица проходит через слой вещества, она свободно проникает через атомы, но, сталкиваясь с электронами и ядрами, испытывает отклонение от первоначального направления и теряет часть своей первоначальной кинетической энергии. Отклонения приводят к рассеянию лучей и, кроме того, к уменьшению их скорости. Роли, которые играют при этом электроны и ядра, оказываются существенно различными. Поскольку вблизи ядер имеется сильное электрическое поле, рассеяние - и -частиц происходит главным образом за счёт столкновений с ядрами. Вместе с тем вследствие большой массы ядра полная потеря кинетической энергии при таких столкновениях будет ничтожно мала по сравнению с потерями при столкновениях с электронами. Поэтому при расчётах торможения мы будем принимать во внимание только столкновения с электронами.

Рассмотрим столкновение между заряженной частицей, движущейся со скоростью V, и электроном, который вначале покоился. Пусть M, E, m и e — массы и электрические заряды соответственно частицы и электрона и пусть расстояние от электрона до первоначального направления движения частицы ¹ будет p. Если электрон считать свободным, то переданная ему при столкновении кинетическая энергия Q равна, как легко показать,

Q

=

2E^2e^2

mV^2

1

p^2+a^2

,

(1)

где

a

=

eE(M+m)

MmV^2

.

(2)

¹ Прицельное расстояние.— Прим. ред.

Рассмотрим теперь - или -частицу, которая проникла в слой некоторого вещества толщиной x; пусть число атомов вещества в единице объёма равно N, а каждый атом содержит n электронов. Среднее число столкновений, при которых значение p лежит в пределах от p до p+dp равно

dA

=

2Nn

xp dp

.

(3)

Если теперь пренебречь силами, действующими на электроны со стороны атомов, то среднее значение потерь кинетической энергии быстрой частицей при её проникновении в вещество будет определяться формулой

T

=

4e^2E^2Nnx

mV^2

p dp

p^2+a^2

,

(4)

в которой интегрирование распространено на все возможные значения p — от p = 0 до p = . Однако этот интеграл расходится. Таким образом, мы видим, что для получения согласия с экспериментом необходимо учесть влияние межатомных сил.

Будем считать, как и в электронной теории дисперсии, что электроны обычно находятся в положении устойчивого равновесия и при небольшом смещении совершают колебания около этих положений; частота этих колебаний, , имеет характерное значение для каждого электрона. При оценке действия межатомных сил удобно ввести понятие «времени столкновения», которое по порядку величины равно времени, необходимому - или -частице для прохождения расстояния p. Если эта величина очень мала по сравнению с периодом колебаний электрона, межатомные силы не успевают оказать существенное влияние на движение - или - частицы за время её пребывания внутри атома; поэтому энергия, переданная электрону, будет практически той же, как если бы электрон был свободен. В противном случае, когда время столкновения велико по сравнению с периодом колебаний, электрон ведёт себя как жёстко связанный, и переданная энергия будет очень мала. Таким образом,

эффект межатомных сил сводится к введению в интеграл формулы (4) верхнего предела для p, равного по порядку величины значению V/. Строгое рассмотрение общего случая сопряжено со сложными математическими выкладками и вряд ли оправдано ввиду довольно скудных сведений о силах, которые удерживают электроны в их положениях равновесия в атоме. Однако для широкого круга экспериментальных приложений оказывается возможным внести существенное упрощение; получаемые при этом результаты с хорошей точностью не зависят от предположений о характере межатомных сил.

Вычисление полных потерь энергии - или -частицы сильно упрощается, если мы предположим, что при всех столкновениях, в которых межатомные силы оказывают существенное влияние на передачу энергии, смещение электрона из его положения равновесия при столкновении мало как по сравнению с p, так и по сравнению с максимальным смещением, из которого он в это положение возвращается. Легко показать, что смещение свободного электрона при столкновениях совпадает по порядку величины с введённым выше параметром a. Поэтому первое из двух рассмотренных выше предположений эквивалентно условию, что V/ велико по сравнению с a. Второе же предположение соответствует тому, что величина Q, получаемая при подстановке p = V/. в формулу (1), мала по сравнению с энергией W, необходимой для удаления электрона из атома. При этих условиях простой расчёт, детали которого приведены в предыдущей статье, показывает, что эффективный верхний предел p в интеграле (4) равен

p

=

k

2

·

V

,

где k = 1,123. Выполняя интегрирование по p от 0 до p и пренебрегая величиной a^2 по сравнению с p^2, имеем

ln

p

a

=

ln

kV^3Mm

2Ee(M+m)

.

Замечая теперь, что величина принимает разные значения ₁, ₂, … _n для различных электронов атома, из формулы(4) получаем ¹

T

=

4E^2e^2Nx

mV^2

_n

¹

ln

kV^3Mm

2Ee(M+m)

.

(5)

¹ См. I, стр. 72.

Мы принимали выше, как это делается в обычной теории дисперсии, что в нормальном состоянии электроны в атоме находятся в покое. Однако в соответствии с ядерной моделью атома следует считать, что электроны вращаются по замкнутым орбитам внутри центрального ядра. В этом случае для справедливости приведённых выше расчётов необходимо выполнение условий, согласно которым скорость вращения электронов на орбитах была бы мала по сравнению со скоростью - или -частицы, а размеры орбит — малы но сравнению с V/. В одной из предыдущих статей ² автор попытался приложить квантовую теорию излучения к ядерной модели атома. Было указано, что имеются серьёзные основания для предположения о том, что энергия каждого электрона в атоме W по порядку величины равна h, где h — постоянная Планка. В этом предположении было показано, что для атома, содержащего n электронов, наивысшая характеристическая частота электрона равна

=

2²e³m

h³

n

²

.

Значение скорости обращения, диаметра орбиты и энергии W равны соответственно

V=

2e²

h

n, d

h²

2²e²m

·

1

n

 и W=

2²e⁴m

h²

n

²

.

² N. Bohr. Phil. Mag., 1913, 26, 476 (статья 5, ч. II).