Избранные научные труды
Шрифт:
T
=
4e2E2Nnx
mV2
n
1
ln
p
p
.
(16)
Оценки показывают, что логарифмический множитель в этой формуле очень велик и T будет очень мало зависеть от точности значения . Так, для рассматриваемого слоя алюминия T меняется только на 4%, если
Рассмотрим теперь распределение вероятности потерь энергии при столкновениях, для которых p меньше p. Так как p велико по сравнению с a, из формулы (14) следует, что среднее число таких столкновений очень мало отличается от . Если теперь считать малым, например равным 1, то распределение вероятности потерь энергии при соударениях будет иметь совершенно отличный от рассмотренного выше вид. Прежде всего существует определённая вероятность того, что вообще не будет никаких потерь энергии; из формулы (6) видно, что она равна e– . Далее, если Q задаётся выражением (1) при p = p, не может быть потерь энергии в пределах от 0 до Q. При значении Q, близком к Q кривая вероятности очень резко возрастает и далее убывает при увеличении значений Q примерно пропорционально Q– 2. Для рассмотренного выше алюминиевого слоя имеем приближённо T/Q = 16.
Из этих рассмотрений видно, что распределение потерь энергии, испытываемых -частицей с данной начальной скоростью при прохождении через тонкий слой вещества, обнаруживает резкий максимум при значении, очень близком к T (если = 1), и быстро спадает по обе стороны от максимума. Значение потерь энергии, измеряемое на опыте, равно, очевидно, этому максимуму, а не среднему значению T задаваемому формулой (5), как это было предположено в моей предыдущей статье. Значительное различие между этими двумя значениями объясняется очень малым числом очень сильных столкновений, вклад которых исключается при выводе формулы (16), но учитывается формулой (5). Полагая = 1 и подставляя в (16) значения p и p, получаем
1
T
=
2e2E2Nx
mV2
n
1
ln
k2V2Nnx
42
.
(17)
В § 6 мы рассмотрим вопрос о потерях энергии, испытываемых пучком -лучей при прохождении через слой вещества большей толщины.
§ 3. Учёт влияния близости скорости -частицы к скорости света
Расчёты, проведённые в предыдущем параграфе, основывались на формуле (1) для энергии, переданной электрону при столкновении с ним - или -частицы. При выводе этой формулы предполагалось, что скорость V мала по сравнению со скоростью света c. Это условие не выполняется в случае очень быстрых -частиц. Если V имеет порядок величины c, расчёт величины энергии, переданной при столкновении, для общего случая требует проведения сложных вычислений. Однако задача, которую мы будем рассматривать, сильно упрощается при выполнении условия, рассмотренного в предыдущем параграфе, что измеренные экспериментально потери энергии -частиц определяются только такими столкновениями, при которых переданная энергия мала по сравнению с полной энергией -частицы; другими словами, при таких столкновениях a мало по сравнению с p. Рассматривая только такие столкновения, мы можем при вычислении силы, действующей на электрон
В электронной теории показано, что сила, действующая на покоящийся электрон со стороны частицы с зарядом E движущейся равномерно со скоростью V = c, направлена вдоль радиус-вектора, проведённого от частицы к электрону, и величина этой силы даётся формулой 1
F=
eE
r2
1-2
(1-2sin2)3/2
,
1 См., например О. W. Richardson. The Electron Theory of Matter. Cambridge, 1914, стр. 249.
где r — расстояние между ними, а — угол между радиус-вектором и направлением движения частицы. Пусть кратчайшее расстояние от электрона до направления движения частицы равно p. Пусть, далее, = /2 в момент времени t = 0. Тогда мы имеем sin = p/r и r^2 = (Vt)^2 + p^2. Для компонент силы, перпендикулярной и параллельной направлению движения быстрой частицы, соответственно получаем
F
1
=
p
r
F, F
2
=
Vt
r
F.
Подставляя сюда выражение для r и полагая (1 - 2)– 1/2 = , находим
F
1
=
peE
[(Vt)2+p2]3/2
, F
2
=
VteE
[(Vt)2+p2]3/2
.
Из этих формул мы видим, что сила в каждый момент времени задаётся тем же выражением, что и в обычной электростатике, если в нем заменить скорость V быстро движущейся частицы на V, а при расчёте перпендикулярной компоненты силы, кроме того, заряд частицы E заменить на E (при расчёте же параллельной компоненты последней замены производить не следует). При расчёте поправок, связанных с большой скоростью -лучей, мы должны поэтому рассматривать две компоненты силы по отдельности.
В случае свободного электрона легко видеть, что его скорость после столкновения, при котором a мало по сравнению с p, будет почти перпендикулярна направлению движения частицы. Следовательно, в этом случае при вычислении переданной энергии нам достаточно рассмотреть лишь компоненту силы, перпендикулярную к траектории частицы. Если V мала по сравнению с c, то из соотношения (1), пренебрегая a по сравнению с p, получаем
Q
=
2e2E2
mV2p2
.
Если в этом выражении заменить V на V и E на E, оно, очевидно, останется неизменным. Поэтому в случае свободных электронов при вычислении не возникает никакой поправки вследствие близости скорости -частицы к скорости света c. Однако задача несколько усложнится, если мы примем во внимание влияние межатомных сил. В этом случае необходимо видоизменить выражение для p. Влияние межатомных сил приводит к дополнительной передаче энергии, связанной с компонентой силы, параллельной траектории -частицы. При этом возникает нечто вроде резонансного эффекта, который вступает в игру, когда «время столкновения» по порядку величины совпадает с периодом колебаний электронов.