Избранные научные труды, Бор Нильс Хенрик Давид

Избранные научные труды

на обложку

Бор Нильс Хенрик Давид

Шрифт:

Рассмотрение этих выражений показывает, что принятые выше при вычислениях предположения выполняются тем лучше, чем меньше число электронов n в атоме. Подставляя численные значения e, m и h, мы видим, что в случае -частиц (V = 2·109 см/сек, E = 2e, M = 104m) эти условия выполняются при n < 10, а в случае -частиц (V = 2·1010 см/сек, E = e, M = m) — при n < 100. В соответствии с теорией Резерфорда число электронов в атоме примерно равно половине атомного веса (если атомный вес водорода принять за единицу). Поэтому, если справедливы главные предположения относительно механизма передачи энергии от -или -частиц к электронам, мы должны ожидать, что формула (5) будет удовлетворяться для поглощения -лучей

в самых лёгких элементах, а в случае -лучей — также и для поглощения в более тяжелых элементах. Однако в случае -лучей надо помнить, что формула (1) была выведена в предположении о том, что V мало в сравнении со скоростью света. Мы вернёмся к этому вопросу в § 3, где рассмотрена вероятность разброса потерь энергии, испытываемых отдельными частицами.

§ 2. Распределение вероятности потерь энергии, испытываемых отдельными - или -частицами

Вопросы, обсуждаемые в этом параграфе, непосредственно связаны с вероятностью обнаружения данного числа частиц в заданный момент времени в небольшой ограниченной части большого объёма, в котором частицы распределены беспорядочно. Эта проблема была рассмотрена М. Смолуховским 1 который показал, что вероятность обнаружения n частиц даётся формулой

W(n)

–

(6)

где e — основание натуральных логарифмов, а — среднее значение числа частиц в рассматриваемой части объёма. Если о очень велико, то это распределение вероятности с большой точностью может быть представлено формулой

W(s)ds

1/2

– 1/2 s^2

(7)

где s определяется из соотношения n = (1+s), а W(s)ds обозначает вероятность того, что значение s находится между s и s+ds.

1 М. v. Smoluchowski. Boltzmann-Festschrift, 1904, S. 626; см. также: Н. Batemаn. Phil. Mag., 1911, 21, 746.

В указанной выше работе Герцфельд использовал формулу (7) для вычисления распределения вероятности того, что -частица с данной начальной скоростью проникнет в газ на расстояние R до своей остановки. Герцфельд сделал простое предположение о том, что для остановки частицы необходимо определённое число A столкновений с молекулами газа. Это число он принимал равным полному числу ионов, образованных данной частицей в газе. Число столкновений, испытываемых -частицей при проникновении её в газ на данное расстояние, равно числу молекул, находящихся в цилиндрическом объёме, осью которого является траектория частицы. Распределение вероятности числа столкновений может быть получено из приведённых выше формул, если под подразумевать среднее число столкновений. Поскольку предполагается, что A очень велико, разброс значений R для отдельных частиц будет очень малым. Поэтому вероятность того, что значение R заключено между R0(1+s) и R0(1+s+ds), где R0 — средняя величина пробега, в предположениях Герцфельда будет даваться просто формулой (7), в которой следует подставить = A. В рассматриваемой здесь теории такой расчёт не может быть проведён очень просто. Общее число столкновений не считается строго фиксированным, но предполагается, что энергия, теряемая -или -частицей при столкновениях с электронами, зависит от расстояния электронов до траектории частицы, непрерывно уменьшаясь с увеличением этого расстояния. Поэтому для того, чтобы наше рассмотрение было аналогично рассмотрению Герцфельда, необходимо разбить столкновения на отдельные группы, в каждой из которой величина потерь энергии частиц была бы примерно одинаковой.

Рассмотрим - или -частицу, проникшую в слой вещества толщиной x; разобьем все столкновения частицы с электронами на группы таким образом, чтобы в r-й группе расстояние p лежало бы в пределах от pr до pr+1.

Предположим теперь, что подобным образом можно разбить столкновения на такие группы, что число столкновений в каждой группе велико, а потери энергии Q при соударениях в пределах данной группы

мало отличаются друг от друга. Пусть величина Q, соответствующая r-й группе, будет равна Qr. Пусть, далее, среднее число столкновений в этой группе равно Ar; действительное же число таких столкновений, испытываемых данной - или -частицей, равно Ar(1+sr). Полная потеря энергии частицей при прохождении через рассматриваемый слой даётся формулой

(1+s

)

Отсюда, обозначая среднее значение T через 0T, получаем

–

Так как величины A велики, из формулы (7) мы получаем для вероятности того, что величина sr лежит в пределах от sr до sr + dsr,

W(s

)

1/2

1/2 Arsr^2

Подобным же образом, обозначая через W(T) dT вероятность того, что величина T лежит в пределах от T до T + dT, с помощью основной теоремы теории вероятностей получаем

W(T) dT

(2P

– 1/2

exp

–

(T-0T)^2

2Px

(8)

где

)^2

При рассмотренных выше предположениях это может быть просто записано в виде

Q^2

Подставляя в это выражение значения Q и dA из формул (1) и (3) и интегрируя по p для каждого вида электронов в пределах от 0 до p, получаем:

4e4E4N

m2V4

–

p2+a2

Предполагая, как и в предыдущем параграфе, что p велико по сравнению с a пренебрегая вторым членом под знаком суммы и подставляя значение a из формулы (2) в первый член, находим:

4e2E2M2

(M+m)2

(9)

Мы получили, таким образом, очень простое выражение, в которое входит только полное число электронов в единице объёма, но не входят ни скорость - или -частицы, ни характеристики межатомных сил.