Избранные научные труды, Бор Нильс Хенрик Давид

Избранные научные труды

на обложку

Бор Нильс Хенрик Давид

Шрифт:

Из формул (8) и (9) нетрудно вывести распределение вероятности толщин слоёв вещества, которые частицы с данной начальной скоростью пройдут до полной потери своей энергии. Полагая T = 0T(1+s), мы получаем для вероятности того, что s лежит в пределах от s до s + ds,

W(s) ds

1/2

– 1/2 us^2

(10)

где

(0T)2

(11)

причём —

среднее значение T/x.

Если теперь предположить, что разброс пучка в поперечном направлении мал [это предположение неявным образом уже было нами использовано при выводе формулы (8)], то формула (10) даёт также вероятность того, что при заданной потере энергии T частица пройдет слой толщиной в пределах между x = 0x(1 + s) и x + dx = 0x(1 + s + ds), где 0x = 0T/. Чтобы найти вероятность W(R) dR того, что частица до полной потери энергии проникнет в слой толщиной в пределах от R до R + dR, разделим интервал 0 - T на большое число малых частей 1T, 2T, … . Обозначим величины u, x, и s, относящиеся к r-й части интервала, через ur, rx, r и sr. Расстояние, на которое проникает данная частица, равно

(1+s

)

Отсюда, обозначая среднее значение пробега частицы через R0 получаем

R-R

Точно таким же образом, как это было сделано при выводе формулы (8), мы теперь получаем

W(R) dR

(2U)

– 1/2

exp

–

(R-R0)2

(12)

где

r^3

или просто

– 3

(13)

причём величина T/x заменена её средним значением dT/dx.

Формулы (8) и (9), а следовательно, и (12) и (13) были получены в предположении, что столкновения, испытываемые быстро движущейся частицей при прохождении через тонкий слой вещества, могут быть подразделены на группы таким образом, что изменение Q в пределах каждой группы мало, в то время как число столкновений в каждой группе велико. Условием справедливости этого предположения является требование, чтобы величина = (dA/dQ)/Q была бы велика но сравнению с единицей. Имея в виду формулы (1) и (3), получаем

(p^2+a^2)

(14)

Мы видим, что равна среднему числу электронов внутри цилиндра с радиусом p^2+a^2. Так как уменьшается с уменьшением p, нам достаточно рассмотреть его значение при p = 0. Подставляя значение для a, имеем

e2E2(M+m)2Nnx

M2mV4

Если

мы рассмотрим газы при обычной температуре и давлении и подставим численные значения величин e, m, E, M, и N, получим для - и -лучей приближённое значение 0:

2,3·10

Это выражение очень сильно зависит от V и даёт совершенно различные результаты для - и -частиц.

Для -лучей радия С мы имеем V = 1,9·109 см/сек; тогда 0 оказывается равным 1,7nx. Пробег -лучей из радия С в водороде и гелии равен примерно 30 см, а число электронов n в молекулах этих газов, согласно теории Резерфорда, равно двум. Мы видим, таким образом, что 0 велико по сравнению с единицей, если толщина пройденного слоя не очень мала по сравнению с пробегом. Для других газов значение 0 будет ещё больше, так как для них произведение числа электронов в молекуле на пробег будет больше, чем в случае водорода или гелия. Можно ожидать поэтому, что в случае водорода или гелия выведенные выше формулы будут давать хорошее приближение. Чтобы получить представление о порядке величины ожидаемого разброса величины потерь энергии, испытываемых -частицей, рассмотрим, например, пучок -частиц, проходящий через слой газообразного водорода толщиной 5 см. Используя экспериментальное значение для констант, мы получаем из формулы (11), что u примерно равно 3·103. Подставляя это значение в формулу (10), мы видим, что величина разброса очень мала. Около половины всех частиц испытывает потери энергии, отличающиеся от их среднего значения не более чем на 1%, и менее чем у 1% частиц потери энергии отличаются более чем на 5%. В § 4 мы вернёмся к этому вопросу и сравним формулу (12) с измерениями.

Для -лучей, имеющих скорость около 2·1010 см/сек, в случае слоя алюминия толщиной 0,01 г/см^2, которая соответствует толщине слоя, использовавшегося в экспериментах, обсуждаемых в § 5, получаем 0 = 1,6·10– 2. Так как эта величина очень мала по сравнению с единицей, то предположения, сделанные при выводе формул (8) и (12), совершенно не выполняются. Однако из этих расчётов всё же оказывается возможным сделать некоторые важные заключения относительно соответствия теории и эксперимента.

Рассмотрим -частицу, проходящую через слой вещества; предположим сначала, что не происходит столкновений, для которых меньше некоторого определённого значения . Пусть величина p, определяемая из формулы (14) при подстановке = , будет p Если не мало по сравнению с единицей, распределение вероятности потерь энергии со значительной точностью даётся формулой (8), если в выражении для P интеграл берётся от значения p = p вместо p = 0. В соответствии со сказанным выше p будет велико по сравнению с a, и для P вместо выражения (9) находим

42e2E4N2n2x

m2V4

(15)

Подставляя это выражение для P в формулу (11), получаем для слоя алюминия толщиной 0,01 г/см^2, что u примерно равно u = 250. Поэтому мы видим, что, если не мало по сравнению с единицей, распределение вероятности потерь энергии оказывается того же типа, что и в случае -лучей. Среднее значение потерь энергии в рассматриваемых столкновениях просто получается из формулы (5) предыдущего параграфа, если заменить в ней a на p. Это даёт