Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]
Шрифт:
Покончивши съ вопросомъ о самомъ главномъ, близкомъ и употребительномъ пособіи, о пальцахъ, мы переходимъ къ тому разряду пособій, который нашелъ себ представителя въ русскихъ торговыхъ счетахъ. Русскіе счеты! Какъ они распространены въ народ, среди лавочниковъ, мелкихъ служащихъ, въ конторахъ! Ихъ издавна любитъ русское торговое сословіе. Это дало поводъ думать нкоторымъ, что счеты изобртеніе исключительно русское. Ничуть: приборы, похожіе на счеты, мы встрчаемъ у многихъ народовъ, въ особенности у народовъ древняго міра, напр., у римлянъ, грековъ, китайцевъ, халдеевъ и у всхъ народовъ, которые приходили съ ними въ соприкосновеніе. Да и какъ не быть счетамъ, когда происхожденіе ихъ такъ просто, ясно и всеобще. На счетахъ имются шарики: естественно и удобно для всякаго народа, потому что потребность наглядности есть у всхъ, а что-нибудь лучше шариковъ трудно и придумать, по крайней мр, заостренные, неотшлифованные предметы не такъ удобны для рукъ, какъ круглые; дале, шарики надваются на проволоки, но они могли бы надваться на стержни и шнуры или могли-бы класться въ желобки: цль, очевидно, та, чтобы они не разсыпались; это мы наблюдаемъ также у многихъ народовъ. Наконецъ, этотъ счетный приборъ содержитъ не одинъ рядъ костяшекъ, а нсколько; это уже боле высокая
Русскимъ торговымъ счетамъ можно указать иараллель и предшественника въ китайскомъ сванъ — пан. Изобртеніе его относится къ вкамъ глубокой древности, откуда, впрочемъ, восходитъ и вся китайская наука и искусство. Надо полагать, что сванъ-панъ получилъ свое начало не сразу, а преобразовался изъ зачаточнаго, грубаго прибора постепенно, многими поправками и улучшеніями, пока не дошелъ до своего настоящаго вида. Признакомъ его древности служитъ то, что онъ содержитъ въ себ смсь пятеричной системы съ десятичной, слдовательно, онъ изобртенъ тогда, когда народъ еще пользовался пятеричной системой и не перешелъ къ чистой десятичной.
Объяснимъ устройство сванъ-пана. Представьте себ деревянную раму, въ род той, какая имется въ русскихъ торговыхъ счетахъ; поперекъ этой рамы горизонтальными рядами натянуты шнуры, вмсто нашихъ мдныхъ проволокъ. На каждомъ шнур только 7 шариковъ, а не 10. Какъ же управляться съ 7-ю шариками и почему именно 7, а не другое число? А вотъ какъ: вдоль всхъ счетовъ, вертикально сверху внизъ, переская шнуры, идетъ перегородка, сквозь которую шнуры и продъаются. При этомъ по одну сторону перегородки остается шариковъ пятокъ, а по другую пара. Пятокъ назначается для отдльныхъ единицъ и съ нимъ ведется дло такъ же, какъ у насъ съ косточками на торговыхъ счетахъ. Что же касается пары, то назначеніе ея сложне: каждая изъ составляющцхъ ее косточекъ равна по значенію 5 единицамъ соотвтствующаго разряда. Поэтому, какъ только мы наберемъ 5 косточекъ на нижней проволок, то мы этотъ пятокъ должны сбросить и замнить одной изъ тхъ косточекъ, которыя входятъ въ составъ пары. Въ свою очередь, какъ только наберется этихъ пятерныхъ косточекъ дв, такъ он сбрасываются и замняются одной простой косточкой на слдующей высшей проволок. Изъ этого мы видимъ, что на нижней линіи кладутся единицы и пятки, на 2-й десятки и полсотни, на 3-ей сотни и полутысячи и т. д. Всего въ сванъ пан 10 линій, т.-е. шнуровъ. Отдльныхъ линій для долей въ немъ вовсе нтъ, не такъ, какъ въ русскихъ счетахъ. Въ греческомъ и римскомъ мір былъ свой замститель сванъ-пана и русскихъ счетовъ. Онъ назывался абакомъ. Слово «абакъ» происхожденія еврейскаго и значитъ пыль. И это потому, что римляне и греки пользовались досками, на которыхъ былъ насыпанъ мелкій песокъ; на нихъ расчерчивался рядъ вертикальныхъ параллельныхъ линій; между начерченными линіями въ промежуткахъ само сабой являлся рядъ колоннъ или гладкихъ пространствъ, изъ которыхъ крайнее назначено было для простыхъ единицъ, второе (обыкновенно слва) для десятковъ, третье для сотенъ и т. д. Какъ же обозначить на такомъ абак число единицъ, десятковъ, сотенъ и т. д.? Для этого былъ не одинъ способъ, а нсколько, при чемъ въ разныя времена и подъ вліяніемъ тхъ или другихъ математиковъ поперемнно выдвигалея на первый планъ то тотъ способъ, то другой: во-первыхъ, на колонны клали нужное количество костяшекъ или камешковъ, или же на нихъ чертили столько черточекъ, крестиковъ или кружковъ, сколько хотли обозначить единицъ; это самый немудрый, примитивный способъ. Поздне, съ Пиагора (въ VI вк до Р. Хр.) начали пользоваться вторымъ пріемомъ, именно въ колоннахъ на песк стали писать не крестики и черточки, а прямо цифры, и, наконецъ, въ замну этого пріема явился третій: стали употреблять костяшки или «марки», съ награвированными цифрами, такъ что вмсто письма въ колоннахъ на песк начали класть костяшки съ цифрами; кром того, вмсто доски съ насыпаннымъ пескомъ употребляли иногда поверхность гладкую изъ камня, дерева или металла, на ней графили рядъ колоннъ, въ которыя и клали марки. Чисто-римскій абакъ, въ отличіе отъ абака греческаго и отъ позднйшихъ видовъ этого же инструмента, былъ съ такими двумя подробностями. Во-первыхъ, сбоку у него имлись небольшія колонки для долей: половинъ, третей и четвертей или же унцій, т.-е. двнадцатыхъ долей: потребностъ въ вычисленіяхъ съ дробями давала себя чувствовать въ обширной и практически-разносторонней дятельности римлянъ; во-вторыхъ, такъ какъ римляне дольше всхъ народовъ примшивали къ десятичной систем пятеричную, то ихъ абакъ, подобно своему родоначальнику сванъ-пану, былъ примненъ къ счету пятками; надо замтить, что гордый Римъ, весь міръ приведшій подъ свое владычество и давшій образцы устройства государства, былъ не силенъ по части истинной науки и больше занимался вопросами житейской практики; плохіе математики и только свдущіе землемры, римляне не могли представкть себ ясно всхъ преимуществъ точнаго счета десятками безъ всякой примси пятковъ, и лишь ученый представитель позднйшей римской образованности Боэцій, жившій въ VI столтіи по Р. Хр., отбросилъ, наконецъ, добавочныя грани для пятковъ, и у него мы видимъ чистый счетъ десятками. Абакъ Боэція содержитъ въ правой колонн единицы, въ сосдней съ ней десятки, въ слдующей сотни и т. д.; если какой-нибудь разрядъ отсутствуетъ, то та колонна остается незаполненной. Какъ близко отъ такого способа обозначенія до нашего порядка записыванія чиселъ! Стоитъ стереть черты колоннъ и обозначить какъ-нибудь мста пропущенныхъ разрядовъ, вотъ и наша система. Весьма возможно, что въ историческомъ развитіи такъ именно и совершалось дло, т.-е. когда въ данномъ числ какой-нибудь разрядъ отсутствовалъ, и та колонна, слдовательно, являлась незаполненной, то стирали вс колонны, кром нея, ее же выражали въ вид квадрата, незаполненнаго цифрой; отсюда одинъ шагъ къ тому, чтобъ вмсто неудобнаго квадрата ввести кружокъ, который чертится гораздо легче: кружокъ этотъ и есть нашъ нуль. Но все-таки введеніе нуля никоимъ образомъ не можетъ считаться заслугой римлянъ: оно принадлежитъ индусамъ.
Въ XV столтіи по Р. Хр. абакъ, почти забытый со временъ Боэція и замненный письменными вычисленіями, вновь выступаетъ на первый планъ. Его выводитъ изъ забвенія кипучая, горячая пора открытій, изобртеній, развитія торговли и мореплаванія. Въ XV–XVI столтіи торговля западной Европы сильно оживилась, явилась потребность въ конторахъ, банкахъ и т. д., и вотъ купцы и вс коммерческіе люди стали усиленно примнять абакъ, какъ инструментъ сравнительно простой и легкій. При этомъ для удобства доску абака они клали на спеціальную подставку или скамейку и въ этомъ вид называли абакъ счетной скамьей, а такъ какъ по-нмецки скамья называется «bank» («банкъ»), то намъ легко понять, что значитъ «банкъ», «банкиръ».
Отголоски абака проникли въ русскую ариметическую литературу XVII вка, подъ именемъ счета «костьми» или «пнязи». Цль этого пособія была та, чтобы «великій счетъ считати». Нашъ абакъ отличался только одной особенностью, именно, онъ разлиневывался поперекъ на нсколько частей, и въ немъ отводились спеціальныя мста для слагаемыхъ и суммъ. Счетъ «костьми» употреблялся, когда нужно было «класть костьми сошную кладь», т.-е. высчитывать земельные налоги, «а вытная и хлбная потому жъ», т.-е. боле мелкія подати. Кром единицъ, десятковъ и т. д. при счет костьми употреблялись доли: трети, полутрети, половино — полутрети, малыя трети (24-я), чети, т.-е. четверти, получети, половино-получети, малыя чети (32-я доли). Для всхъ этихъ дробей были внизу доски особыя мста. Что счетъ костьми происхожденія иноземнаго, на это, между прочимъ, указываетъ и присутствіе пятковъ, полсотенъ и т. д., какъ въ сванъ-пан и старинномъ римскомъ абак.
Скажемъ еще нсколько словъ о русскихъ торговыхъ счетахъ. Первоначальная ихъ форма на Руси такъ назыв., «дощаный счетъ», т.-е. доска или рама съ «четками» (шариками), надтыми на шнуры или веревки. Дощаный счетъ, подобно ныншнимъ торговымъ счетамъ, употреблялся въ народ часто: «имъ всякій торговый счетъ сочтетъ и сошной и помрной и всчеи и денежной всякой счетъ по всякимъ статьямъ и въ доляхъ». Русскіе торговые счеты, или, какъ называютъ ихъ нмцы, «русская счетная машина», сдлались извстными за границей очень недавно и по такому случаю. Французскій офицеръ Понселе въ 1812 году былъ взятъ въ плнъ и поселенъ въ Саратов; посл кампаніи онъ вернулся на родину въ Мецъ и ознакомилъ тамъ соотечественниковъ съ оригинальнымъ и удобнымъ приборомъ, который онъ захватилъ съ собой изъ Саратова. Съ тхъ поръ счеты распространились въ иностранныхъ школахъ въ вид нагляднаго пособія, но далеко не такъ повсемстно, какъ въ нашихъ.
Цифры различныхъ народовъ
Немного есть наукъ, которыя свое начало вели бы съ такихъ древнихъ временъ, какъ ариметика. И среди этихъ немногихъ своихъ спутницъ ариметика является наукой самой отвлеченной. Но если ужъ теперь, несмотря на то, что цивилизація и общее развитіе значительно проникли въ массу народа, всякое отвлеченное мышленіе все же очитается чмъ-то сухимъ и труднымъ, то тмъ боле во времена давно прошедшія отвлеченное знаніе нуждалось обязательно во вншнемъ проявленіи. Цифры и служатъ такимъ проявленіемъ. Он всеобщи и такъ же древни, какъ древни крайніе зачатки ариметики. Такъ, цифры у египтянъ мы видимъ за 2200 лтъ до Р. Хр. въ папирус Ринда, у халдеевъ за 2300 лтъ до Р. X. въ табличкахъ Сенкере и у китайцевъ за 2637 лтъ до Р. X. въ «Кіу-чанг», составленномъ ученымъ авторомъ Тзинъ-кіу-чау. Много есть разныхъ сортовъ цифръ; они отличаются другъ отъ друга и происхожденіемъ, и начертаніемъ, въ зависимости отъ того, когда они получили начало и у какого именно народа.
Наврное, читатель, вамъ приходилось не разъ замчать, что малые ребята съ особенной охотою рисуютъ дома, людей, животныхъ, т.-е. все то, что прямо предъ глазами, и лишь потомъ, впослдствіи они берутся за условные рисунки, т.-е. значки, планы и чертежи. Такъ точно и народы древности предпочитали имть цифры въ вид рисунковъ тхъ предметовъ, которые у нихъ передъ глазами. Особенно замтна эта оклонность у древнихъ египтянъ, хотя и у другихъ народовъ мы можемъ указать подобные слды. Это письмо носитъ названіе гіероглифичеекаго; напр., чертежъ шеста или кола обозначалъ собою единицу; десятокъ означался фигурою 2-хъ соединенныхъ рукъ, такъ какъ на 2 рукахъ бываетъ 10 пальцевъ; символомъ сотни считался свернутый пальмовый листъ, такъ какъ съ его развитіемъ выходитъ изъ него много листовъ, можетъ быть до 100; тысяча рисовалась въ вид цвтка лотоса, который знаменовалъ собой обиліе; цифрой, которая обозначала 10000, было изображеніе лягушки, такъ какъ лягушки при разливахъ Нила являлись въ неисчислимомъ количеетв, многими тысячами. Картиной милліона была фигура изумленнаго человка.
Такими гіероглифами пользовался Египетъ для выраженія всхъ чиселъ. Подобная система была и у халдеевъ. У римлянъ цифра V напоминаетъ своей формой кисть руки. Но, очевидно, писать при помощи рисунковъ крайне медлительно и неудобно, въ особенности же потому, что каждый изъ рисунковъ необходимо было повторять по многу разъ. Такъ, чтобы выразить число хоть 30270, египтянинъ 3 раза рисовалъ лягушку, 2 раза листъ и 7 разъ сложенныя руки. Гіероглифы надо было упростить, снабдить ихъ легкой формой и примнимостыо къ письму. Висто фигуръ стали чертить лишь облики, нчто въ род условныхъ знаковъ. Такъ получились цифры. Вром того, писать одинъ и тотъ же знакъ по многу разъ невыгодно и долго, поэтому египтяне придумали для чиселъ 2, 3, 4, 9 свои особые значки, которые давали имъ возиожность избжать длиннаго и утомительнаго повторенія цифры 1. Что же касается 5, 6, 7, 8, то эти цифры у египтянъ были составлены изъ 2, 3, 4.
Слды письма гіероглифами, какъ сказано уже выше, мы видимъ у халдеевъ. Но и они оставили эту систему и выработали вмсто нея новую, очень послдовательную и простую, такъ называемое клинообразное письмо. Чтобъ обозначить единицу, халдеи рисовали вертикальную черту съ заостреннымъ нижнимъ краемъ и толстымъ расщепленнымъ верхнимъ. Десятокъ означался такою же чертой, но только въ положеніи горизонтальномъ и съ острымъ краемъ, обращеннымъ влво. Для выраженія нсколькихъ единицъ халдеи повторяли столько разъ знакъ единицы, еколько ихъ содержалось въ данномъ чиел. Такъ, напр., чтобы выразить 7 единицъ, они писали 7 разъ знакъ единицы. Такимъ же образомъ они писали и десятки. Сотню оии обозначали помощью 2 чертъ, горизонтальной вмст съ вертикальной. Для чиселъ, состоящихъ изъ полныхъ сотенъ порядокъ видоизмнялся: именно, халдеи брали знакъ сотни и при немъ писали столько разъ единицу, сколько сотенъ въ заданномъ числ. Для тысячи халдеи не имли особенной цифры, и они обозначали тысячу, какъ десять согенъ. И такъ, халдейская система цифръ, равно какъ и египетская, основаны на непосредственной наглядности, и отъ нея уже он переходятъ къ условнымъ знакамъ.