Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]
Шрифт:
Римскія цифры таковы: I=1, V=5, X==10, L=50, C=100, D=500, М=1000. Изъ этихъ семи знаковъ легко можно составить обозначенія всхъ чиселъ. Тысяча иногда обозначалась не черезъ М, а черезъ (I), т. е. она обозначалась чертой среди 2 скобокъ. Согласно этому, и десятокъ тысячъ имлъ знакъ такой: ((I)), сто тысячъ (((I))), для милліоновъ брали .
При помощи раздваиванія 3-хъ послднихъ знаковъ можно образовать 3 новыхъ цифры: І))=5000, І)))=50000, O | = 500000. Отсюда ясно видно, какъ получилось D для пятисотъ; это ничто иное, какъ тысяча (I), раздленная пополамъ, правая часть взята, а лвая откинута.
Значенія отдльныхъ знаковъ при письм чаще всего складывались, напр., III=3, ХIII=13, MDCCCLXVI=1866. Но если высшій знакъ стоялъ праве низшаго, то это выражало отниманіе, такъ, напр., IX=9, XC=90. Вычитать обыкновенно можно было не больше одного знака, а прикладывать—не больше 3-хъ однородныхъ. Кром того, прежде чмъ писать число, его разлагали на единицы, десятки, сотни и т. д., и чтобы написать хотя
Только у однихъ римлянъ и видимъ мы отниманіе низшаго знака отъ высшаго, ни у какого другого народа нтъ подобнаго обыкновенія; если и ставился у другихъ народовъ низшій знакъ перед высшимъ, то онъ указывалъ обыкновенно на повтореніе, а не на отниманіе. Даже и въ произношеніи у римлянъ было вычитаніе, особенно же если вычиталось 2 или 1, такъ, напр., вмсто восемнадцати они говорили двадцать безъ двухъ. Только въ случа тысячъ низшій знакъ показывалъ умноженіе и, напр., десять тысячъ можно было писать черезъ X M=10x1000, а сто тысячъ черезъ CM; въ послднемъ случа являлась полная возможность смшать 100000 съ 900, потому что не видно было, надо ли 1000 взять сто разъ или же отнять 100 отъ 1000.
Точно такъ же писали иногда MM, и въ этомъ случа опять не видно было, сколько тысячъ обозначено зтой формулой: или это дв тысячи (М+М), или тысяча тысячъ (МxМ), и то и другое чтеніе иметъ свои основанія и можетъ считаться правильныиъ приходилось догадываться по смыслу, какое именно число надо подразумвать въ каждомъ отдльномъ случа. Чтобы избжать сомнній и ошибокъ, римляне стали употреблять еще новый пріемъ по которому тысячи обозначались горизонтальной линіей вверху; этимъ пріемомъ 1000 пишется I, 100000=—С, [5] 1000000=—M, равнымъ образомъ —C—C=200000, —C—L—X=160000.
5
здесь имеются в виду сплошные черточки над числом, а не над-впереди, но формат не позволяет. Примечание авт. док.
Знакъ || над цыфрами придавалъ имъ значеніе сотенъ тысячъ, такъ напримръ |—X—V—I—I | = 1700000, |—M|= 1000.100000 = 100 000 000. Знаменітый ученый и естествоиспытатель Плинiй (въ I вк по Р. X.) ввелъ знакъ для тысячъ точку, слдовательно L.D=50500. Встрчаемъ и еще обозначеніе: Vm.=5000.
Теперь мы видимъ и ясно можемъ убдиться. насколько весь порядокъ нумераціи у римлянъ былъ сбивчивъ, непослдователенъ и могь представить много поводовъ къ толкованіямъ въ ту и другую сторону. Врне всего мы отъ римлянъ заимствовали обыкновеніе, чтобъ сумму денегъ въ разныхъ векселяхъ, распискахъ и т. д. писать не только цифрами, но и словами. Для римлянъ это было очень важно и настоятельно необходимо, потому что вс эти черточки при цифрахъ легко можно стереть, продолжить и пополнить. Исторія передаетъ намъ случай, когда изъ-за неясности написаннаго ряда цифръ произошелъ большой споръ относительно завщаннаго наслдства. Гальба получилъ отъ Ливіи Августы по завщанію 50 милліоновъ сестерцій (приблиз. 5 милліоновъ рублей), но Тиверій, главный наслдникъ, сумлъ доказать, что подъ этими цифрами надо разумть только 500 000 сестерцій; ему это удалось тмъ легче, чтс сумма денегъ не была написана словами.
При выговариваніи большихъ чиселъ у римлянъ не было въ распоряженіи другихъ словъ, кром тысячи. Поэтому 1000 000 000 они читали такъ: тысячью тысяча разъ по тысяч.
Относительно происхожденія римскихъ цифръ существуетъ много различныхъ мнній и догадокъ. Нкоторые полагагюъ, что начало этимъ цифрамъ дано буквами стариннаго алфавита. Другіе объясняютъ такъ: первыя три цифры I, II и III само собой понятны: он произошли отъ счета линій; цифра V образовалась изъ картины руки, т.-е. пяти пальцевъ, потому что, если бы очертить кисть руки съ раздвинутыми пальцами, то и получилась бы фигура, напоминающая цифру V; цифра десять своею формой косого креста разлагается на 2 пятка X приложенныхъ другъ къ другу острыми концами; «С», которое обозначаетъ сто, является первой буквой числительнаго «Centum», что значитъ сто; M—тысяча, это начальная буква латинскаго слова «Mille» (тысяча). О томъ, какъ получился знакъ пятисотъ D, нами уже сказано выше. Такъ же можно объяснить и знакъ пятидесяти L, именно сто [, а 50 = +, т.-е. знакъ ста раздвоенъ на дв половины, изъ которыхъ нижняя взята, а верхняя половина отброшена.
Происхожденіе нашихъ цифръ
Т
Дйствительныя, подлинныя арабскія цифры не имютъ никакого отношенія къ нашимъ, которыми мы пользуемся теперь. Прежде всего надо сказать, что первоначальное письмо арабовъ было грубо и некрасиво, и едва ли до VII в. по Р. X. были у нихъ какія-нибудь цифры. Только со временъ Магомета, когда сразу былъ данъ чрезвычайный толчекъ развитію арабскаго могущества и образованности, стало у нихъ процвтать и письмо. Арабы особенно любили выражать числа такъ, чтобы писать полныя числительныя имена; отсюда естественно вытекаетъ, что съ теченіемъ времени они перешли къ первымъ буквамъ числительныхъ именъ; впослдствіи, подобно грекамъ, они стали примнять буквы въ алфавитномъ порядк.
Около 773 года по Р. X. арабы приняли индусскую систему цифръ и стали обозначать числа такъ, какъ ихъ обозначали индусы. Сдлать это было тмъ боле легко и естественно, что Индія граничила съ владніями арабскихъ халифовъ, и между сосдями постоянно были близкія сношенія и торговыя, и научныя.
Заслуга индусовъ въ развитіи ариметики громадна и неисчислима. Во-первыхъ, они сильно уменьшили количество цифръ и довели его до 10, считая въ томъ числ и нуль; между тмъ, у грековъ, у евреевъ, у сирійцевъ и т. д. цифръ было не мене 27; правда, римляне умли обходиться 7-ю цифрами, но за то у нихъ была маса мелкихъ значковъ, которые только спутывали и мшали. Во-вторыхъ въ индусской систем ясно проглядываетъ необыкновенная простота, точность и объединенность: каждый разрядъ выражается обязательноі одной цифрой, а не нсколькими; значеніе цифры легко угадать по мсту, которое она занимаетъ, и не надо задумываться ни надъ сложеніемъ, ни надъ вычитаніемъ сосднихъ знаковъ, какъ это бываетъ въ другихъ системахъ; кром того, десятки, сотни, тысячи и милліоны и высшіе разряды пишутся точно такъ же, какъ простыя единицы, поэтому не надо изобртать особенныхъ правилъ для высшихъ разрядовъ, а можно безконечно прилагать одно и то-же правило. Вс эти выгоды настолько ясны и безспорны, что всякій народъ, какъ только ознакомится со способомъ индусовъ и пойметъ его, то перемняетъ свою систему на ихъ систему. Такъ было и съ арабами, и съ Западной Европой, и съ нами русскими.
Главное преимущество индусской системы заключается въ томъ, что значеніе каждой цифры вполн опредляется ея мстомъ, т.-е. если, наприм., цифра стоитъ на 4-мъ мст справа, то она выражаетъ тысячи, и, слд., чтобы написать тысячу, надо только поставить цифру 1 на 4-е мсто, но не перемнять ея формы и не припиеывать какого-нибудь особеннаго слова или значка. Въ глубокой древности встрчались и среди иныхъ народовъ геніальные умы, которые какъ-то смутно догадывались, что значеніе цифры лучше всего опредляетсяется мстомъ, но вс они становились въ тупикъ передъ такимъ сомнніемъ: а какъ же быть, если какой-нибудь разрядъ въ числ пропущенъ, напр., если число состоитъ только изъ единицъ и сотенъ и не содержитъ десятковъ? Чмъ замщать недостающіе разряды? Индусы отвчали коротко и ясно: надо замщать нулемъ. И мы теперь, когда отвтъ извстенъ, пожалуй, удивляемся, чего тутъ труднаго, и какъ же было не смекнуть; но жизнь доказываетъ лучше всякихъ словъ, что самыя простыя и общія идеи всегда и самыя мудреныя. Вотъ что говоритъ относительно этого извстный французскій математикъ Лапласъ:
«Мысль выражать вс числа 9-ю знаками, придавая имъ, кром значенія по форм, еще значеніе по мсту, настолько проста, что именно изъ-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Какъ нелегко было прійти къ этой метод—мы видимъ ясно на примр величайшихъ геніевъ греческой учености, Архимеда и Аполлонія, для которыхъ эта мысль осталась скрытой».
Вс величайшія открытія никогда не являются вдругъ и сразу, наоборотъ для нихъ необходима продолжительная подготовка. Какъ же могли индусы прійти къ иде обозначенія чиселъ? какъ они придумали нуль? Врне всего посл счета нагляднаго, т.-е. счета на пальцахъ, камешкахъ и черточкахъ они перешли къ спеціальнымъ счетнымъ приборамъ, именно къ шарикамъ и косточкамъ на проволокахъ и шнурахъ; затмъ естественно было чертить колонны на песк, дощечкахъ и бумаг и въ эти колонки или желобки класть т же косточки и шарики. Дальнйшая ступень: въ колоннахъ чертятся значки или кладутся въ нихъ костяшки съ награвированными цифрами; теперь остался одинъ шагъ и до того, чтобъ цифрамъ придавать значеніе по мсту; дйствительно, если вс колонны заняты, то ихъ края, пожалуй, можно и стереть, потому что и безъ нихъ можно догадаться, что первая справа костяішка обозначаетъ единицы, сосдняя, т.-е. вторая, десятки и т. д. Получится гладкая, ровная поверхность, на которой подрядъ лежатъ костяшки, или начерчены значки; но какъ же быть съ той колонной, въ которой нтъ значка, потому что въ данномъ числ нтъ соотвтствующихъ единицъ? Подобную колонну стирать нельзя, потому что иначе смыслъ всхъ другихъ, лежащихъ влво, измнится, но ее-то одну именно и достаточно начертить, положимъ въ такой форм: || или II или 0. Слдовательно, нуль образовался изъ фигуры пустой колонны.