Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

Беллюстин Всеволод Константинович

Арабскій ученый Алькальцади (XV в.), совтуетъ писать сумму надъ слагаемыии, а внизу помщать т цифры, которыя мы обыкновенно держимъ въ ум. Напримръ, дано сложить 48 съ 97-ю. Получится такое вычисленіе:

145

———

 97

 48

1

Такое записываніе довольно неудобно, потому что при немъ необходимо впередъ приготовить мсто для суммы.

Греческій монахъ Максимъ Планудесъ (XIV в.), единственный представитель математическихъ знаній во весь византійскій періодъ греческой исторіи и къ тому же ученый не самостоятельный, а черпавшій свои пріемы изъ арабскихъ источниковъ, предлагаетъ записывать сумму надъ слагаемыми, а не подъ ними, въ остальномъ же его cпособъ сходенъ съ нашимъ.

Индусы, какъ боле всего расположенные къ устному счету, вводили въ сложеніе, сравнительно съ другими народами, мене механичности и cтарались развивать въ ученикахъ сообразительнооть, быстроту вычисленій и умнье упрощать дйствія. При многозначныхъ числахъ они писали

слагаемыя въ строку и складывали ихъ по разрядамъ. 365+867+992 индусы вычисляли такъ: 5+7+2=14, 6+6+9=21, 3+8+9=20; всего 2224. Такъ идетъ дло у индусскаго писателя Баскары (XII в. по Р. X.).

Заканчивая эту главу, упомянемъ еще о терминахъ сложенія, т.-е. о названіи дйствія и объ именахъ данныхъ и искомыхъ при немъ чиселъ. Средневковая ариметика вводила массу терминовъ. Такъ, вмсто «сумма», говорилось еще: аггрегатъ, коллектъ, продуктъ. Вмсто «сложить», итальянскій ученый Тарталья приводитъ цлыхъ 12 терминовъ. Въ старинныхъ русcкихъ ариметикахъ слагаемыя назывались перечнями, а сумма — исподнимъ большимъ перечнемъ, очевидно, потому, что принято было писать ее внизу, подъ малыми перечнями.

Вычитаніе цлыхъ отвлеченныхъ чиселъ

До настаящаго времени извстно всего на всего 5 способовъ письменнаго вычитанія многозначныхъ чиселъ, считая въ томъ числ и тотъ, который у насъ общепринятъ теперь. Начнемъ съ него. Мы производимъ письменное отниманіе отъ правой руки къ лвой, чтобы удобне было занимать, а это приходится длать всякій разъ, когда какой-нибудь разрядъ вычитаемаго не отнимается отъ разряда уменьшаемаго. Въ противоположноеть этому порядку, арабскій математикъ Бенъ-Муза, жившій при двор халифа Аль-Мамума въ IX в. по Р. X., настаиваетъ на вычитаніи съ высшихъ разрядовъ, т.-е. отъ лвой руки къ правой; причины онъ не объясняетъ, а просто говоритъ «такъ полезне и легче». Вовсе не легче, прибавимъ мы отъ себя, потому что, если случается занимать, то нужно бываетъ перетирать цифры. Впрочемъ, весьма возможно, что Бенъ — Муза вычислялъ на песк, на абак, и ему ничего не стоило перемнить лишній разъ цифру; но очень неразсчетливо поступаютъ т авторы, которые ведутъ вычисленія на бумаг, а правила даютъ такія, какія пригодны толькодля абака: вдь на абак все можно стереть и все замнить новымъ, а на бумаг постоянныя перечеркиванья приводятъ къ путаниц, сбивчивости и къ лишнимъ усложненіямъ. Вотъ примръ, взятый изъ одного нмецкаго сборника XIII вка. Дается вычесть 144 изъ 810; отнимаемъ 4 отъ 810, получится 806; при этомъ цифры 1 и 0 мы замняемъ цифрами 0 и 6. Дале, вычитаемъ 4 десятка изъ 0, надо занять сотню, остатокъ будетъ всего 766; при этомъ цифры 8 и 0 замнились другими: 7 и 6. Когда, наконецъ, вычтемъ 100 изъ 766, то получимъ искомый отвтъ 666. Такимъ путемъ посл трехъ измненій цифръ приходимъ мы къ отвту 666.

Максимъ Планудесъ, византійскій математикъ XIV вка, вычитаетъ точно такъ, какъ мы, но пишетъ вс вычисленія гораздо подробне, такъ какъ не надется на устный счетъ и приводитъ все дло къ механическому записыванію. Если бы потребовалось вычесть 26158 изъ 35142, то по Планудесу мы, во-первыхъ, должны были бы остатокъ записать вверху, надь чертой, точно такъ, какъ и сумму онъ же рекомендуетъ писать вверху надъ слагаемыми:

08984

—————

24031

35142

26158;

во-вторыхъ, надъ уменьшаемымъ появляется какой-то странный рядъ цифръ 24031. Объясняется онъ такъ. Когда мы начинаемъ дйствіе справа и хотимъ вычесть 8 изъ 2, то, конечно, намъ вычесть нельзя, и мы должны къ 2 единицамъ еще занять 1 десятокъ изъ 4-хъ; вотъ этотъ — то одинъ занятой десятокъ и пишется надъ цифрой единицъ и образуетъ вмст съ ней 12; 8 изъ 12=4, слдовательно, простыхъ единицъ въ отвт 4. Вычитая дале десятки, мы должны считать ихъ въ уменьшаемомъ не 4, а 3, такъ какъ одинъ десятокъ раздробленъ въ простыя единицы; и вотъ, чтобы не сбиться, Планудесъ ставитъ надъ цифрой десятковъ 4 новую цифру 3 и продолжаетъ находить отвтъ также для сотенъ, тысячъ и десятковъ тысячъ. Изъ этого видно, что рядъ цифръ 24031 представляетъ собою исправленные разряды числа, когда въ нихъ произошло заниманіе.

Во всхъ разобранныхъ примрахъ, начиная съ Бенъ-Музы, проявляется, несмотря на видимое разнообразіе подробностей, одинъ и тотъ же основной пріемъ, и очевидно тотъ самый, который примняется и въ нашемъ настоящемъ способ вычитанія. Это не важно, съ какой руки начинать дйствіе, и гд записывать цифры, которыя мы привыкли держать въ ум, но важно то, какъ производить заниманіе, потому что оно составляетъ самое трудное и сбивчивое мсто во всемъ вычитаніи. Во всхъ примрахъ, взятыхъ выше, заниманіе производилось нормальнымъ путемъ: если, напр., единицъ внизу больше, чмъ вверху, то берется десятокъ, прикладывается къ единицамъ, и такимъ образомъ дйствіе становится возможнымъ. Въ виду одинаковости заниманія, мы относимъ вс предыдущіе примры къ одному виду, или способу, который мы и называемъ первымъ способомъ вычитанія.

Чтобы объяснить второй способъ, беремъ примръ: 5975—497. Такъ какъ 7 изъ 5 не отнимается, то отнимаемъ 7 изъ 15, будетъ 8. Но, вычитая 7 изъ 15-ти вмсто 5-ти, мы этимъ къ уменьшаемому прибавляемъ лишній десятокъ. такъ какъ въ немъ простыхъ единицъ всего только 5, а мы говоримъ 15. Но не будемъ занимать этого

десятка отдльно въ десяткахъ уменьшаемаго, потому что такимъ путемъ мы опять придемъ къ 1-му способу; вмсто того, мы отнимаемъ этотъ занятой десятокъ отъ 7 десятковъ уменьшаемаго тогда, когда будемъ отнимать десятки вычитаемаго, и намъ вмсто 9 придется отнять 10 десятковъ; такъ какъ 10 изъ 7-ми не вычитается, то надо занять сотню; ее мы опять-таки не будемъ занимать отдльно и не будемъ отнимать прямо отъ 9 сотъ уменьшаемаго, а вычтемъ вмст съ 4-мя стами. Тогда, отнявши отъ 9 сотъ 5, получимъ 400. Теперь легко понять, чмъ отличается второй способъ вычитанія отъ перваго. По второму способу тотъ десятокъ или та сотня, которые мы занимаемъ, не отнимаются сейчасъ же отъ десятковъ или сотенъ умевьшаемаго, а придаются къ десяткамъ или сотнямъ вычитаемаго, и тогда уже вычитаются вмст съ ними; слдовательно, не цифры уменьшаемаго понижаются на единицу, а наоборотъ цифры вычитаемаго повышаются на единицу, если только, конечно, изъ соотвтетвующаго разряда занимаютъ. Вотъ еще примръ: 1236—879. Ршеніе: 9 изъ 16-ти—7, 8 изъ 13-ти—5, 9 изъ 12-ти—3, всего 357. Чтобы отмтить, какія цифры вычитаемаго повышаются, надъ ними ставятъ точки. Этотъ второй способъ получилъ начало уже давно, еще со времени М. Планудеса и ране, примняется же онъ теперь иногда во французскихъ школахъ. Въ немъ видятъ даже нкоторое удобство, сравнительно съ нашимъ пріемомъ, потому что въ немъ занятая единица всегда прикладывается, а у насъ отнимается, прикладывать же вообще проще и естественне, чмъ отнимать, такъ какъ и сама ариметика начинается съ элементарнаго прикладыванія, т.-е. счета по единиц. Но, разумется, это выгода довольно призрачная, и все дло зависитъ отъ привычки: насъ пріучали съ малыхъ лтъ ставить точку надъ уменьшаемымъ, а не надъ вычитаемымъ, и это насъ не затрудняетъ, а даже кажется боле легкимъ.

Третій способъ, предложенный Адамомъ Ризе, нмецкимъ педагогомъ XVI вка, примыкаетъ къ первому. Объяснимъ его на примр: 85322—67876. Ведемъ вычитаніе съ простыхъ единицъ. По обыкновенному пріему надо бы 6 вычесть изъ 12-ти, а мы по этому третьему способу вычтемъ 6 не изъ 12-ти, а изъ 10-ти, и этотъ 1 десятокъ занимаемъ у 2 десятковъ уменьшаемаго. 6 изъ 10 составитъ 4, да 2 единицы въ уменьшаемомъ, всего будетъ 6. Дале вычитаемъ десятки. Такъ какъ 7 не вычитается изъ двухъ, или врне изъ одного, потому что одинъ десятокъ мы уже заняли, то надо намъ занять сотню и раздробить ее въ десятки; сотня даетъ 10 десятковъ, вычтемъ изъ нихъ 7, тогда получимъ въ разности 3; да еще въ уменынаемомъ 1 десятокъ, итого накопится въ остатк 4. Такъ же поступаемъ и съ остальными разрядами: 10—8=2, да 2, всего 4 сотни; 10—7=3, да 4 тысячи, всего 7 тысячъ; 10—6=4, да 8, всего 12 десятковъ тысячъ; но изъ этихъ 12 десятковъ тысячъ надо исключить 1 сотню тысячъ, потому что мы ее какъ бы заняли, а между тмъ занять-то было не у чего, то мы ее теперь и счеркиваемъ у остатка. Выводъ относительно третьяго способа получается слдующій. Онъ основанъ на отниманіи каждаго разряда вычитаемаго отъ 10-ти и прибавленіи разрядовъ уменьшаемаго, а такъ какъ разность между какимъ-нибудь однозначнымъ числомъ и десятью называется дополненіемъ этого числа до 10-ти, то способъ Адама Ризе можно еще выразить такъ: къ разрядамъ уменьшаемаго надо прикладывать дополненія разрядовъ вычитаемаго до 10-ти. Еще примръ:

1 9 0 3 3 0 9 1

2 7 8 5 3 0 6

———————————————

1 6 2 4 7 7 8 5;

Ршается онъ такъ: 4, дополненіе 6-ти до 10-ти, да 1, будетъ 5; 10, дополненіе нуля до 10-ти, да 8, потому что 1 занята, составитъ 18, изъ нихъ 8 пишемъ, а 1 сотню отбрасываемъ, потому что, когда мы брали дополненіе, то для этого намъ необходимо было имть сотню, а такъ какъ мы ея не занимали въ уменьшаемомъ, то и счеркиваемъ ее въ остатк. Такъ же поступать надо и въ другихъ подобныхъ случаяхъ, именно когда дополненіе вычитаемаго вмст съ разрядомъ уменьшаемаго дастъ боле 10-ти, то десятокъ счерки-вается. Способъ Адама Ризе былъ знакомъ его современникамъ, но особаго развитія и распространеиія онъ не получилъ. Онъ очень на-поминаетъ новый, пятый способъ, который помщаемъ ниже.

Четвертое правило вычитанія принадлежитъ арабскому ученому Алькальцади изъ Андалузіи (XV в.). Чтобы, напримръ, вычесть 287 изъ 573, надо сперва 7 простыхъ единицъ вычесть изъ 3-хъ. Конечно, 7 изъ 3-хъ не вычитается, но прежде чмъ занимать десятокъ, Алькальцади задается вопросомъ: много ли недостаетъ къ тремъ для того, чтобы изъ нихъ можно было вычесть семь? Оказывается, недостаетъ четырехъ. И вотъ мы занимаемъ теперь десятокъ изъ 7 десятковъ, раздробляемъ его въ единицы и вычитаемъ столько, сколько не хватало, т.-е. 4, въ остатк будетъ 6. Такимъ же образомъ идетъ вычисленіе и съ десятками, и съ сотнями: 8 изъ 6, недостаетъ двухъ, вычитаемъ 2 изъ 10-ти, будетъ 8 десятковъ; на-конецъ, 2 сотни изъ 4 сотенъ дадутъ 2 сотни, веего 286.

Связь между способами первымъ, третьимъ и четвертымъ мы представимъ для ясности еще разъ на двузначныхъ числахъ. Возьмемъ 41–27. По первому способу необходимо 7 вычитать изъ 11-ти, по третьему 7 вычитается изъ десяти, и къ полученному прибавляется 1, а по четвертому изъ 10-ти вычитается недостатокъ единицы противъ 7-ми. Что касается второго способа, то въ немъ, какъ и въ первомъ, 7 вычитается изъ 11-ти, но за то потомъ, когда идетъ отниманіе десятковъ, не 2 десятка отнимается изъ 3-хъ, а 3 изъ 4-хъ.