Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]
Шрифт:
Приведемъ образецъ вычисленій на римскихъ цифрахъ. Изъ него хорошо видно, насколько сложеніе преобладало надъ умноженіемъ и замняло его. Требуется, положимъ, СХХХХIIIІ умножить на XXX. Тогда дйствіе располагается слдующимъ образомъ:
С · Х = М
С · Х = М
С · Х = М
ХХХХ · XXX = МСС
XXX + XXX + XXX + XXX = СХХ.
Такъ какъ множитель XXX состоитъ изъ X + X + X, то достаточно повторить множимое сперва X разъ, потомъ еще X разъ, и, наконецъ, еще X разъ и полученные отвты сложить. Но когда мы начнемъ повторять X разъ, то множимое, въ свою очередь, разложится на отдльныя слагаемыя: С + X + X + X + X + IIII; и придется намъ каждое слагаемое перваго числа помножать на каждое слагаемое второго.
21. Двадцать первымъ способомъ будетъ такъ называемый „per aschapezza“. Въ перевод съ итальянскаго языка,—способъ чаще другихъ примняли итальянцы,—это значитъ способъ «разложенія». Примръ: 44x26. Для этого 26
22. Какъ мы уже сказали, замна умноженія сложеніемъ является самымъ легкимъ и простымъ пріемомъ и въ то же время самымъ старымъ и испытаннымъ. Египтяне за много столтій до Р. X. умли съ болышшъ искусствомъ, чрезвычайно свободно и остроумно пользоваться этой замной. Если, напримръ, имъ требовалось умножить на 17, то они сперва складывали множимое само съ собой и получали такимъ образомъ двойное число; его тоже складывали само съ собой, получали четверное число; четверное складывали съ четвернымъ, получали восьмерное; восьмерное съ восьмернымъ, получится 16 ть слагаемыхъ, а такъ какъ ихъ задано набрать 17-ть, то остается добавить только одно слагаемое и отвтъ будетъ найденъ. Подобнымъ же образомъ они могли, напримръ, вычислять 466 .13. Они составляли 466.2 = 932, 932.2 = 1864, 1864.2 = 3728, затмъ складывали восьмерное число съ четвернымъ и съ простымъ и получали 466 .13 = 3728 + 1864 + 466 = 6058. Такимъ путемъ египтяне умли добираться до сложныхъ результатовъ, хотя и медленно, но довольно врно и успшно. Изъ всхъ умноженій у нихъ было только одно удвоеніе; они даже не знали таблицы умноженія. Не они ли пришли къ мыели выдлить удвоеніе въ особое дйствіе, къ мысли, которая примнялась очень долго и едва въ ХУІ столтіи была оставлена, потому что съ этого времени удвоеніе вошло въ составъ вообще умноженія.
Покончимъ теперь на египтянахъ и не будемъ уходить дале въ глубь вковъ, тмъ боле, что у насъ нтъ фактическаго матеріала для этого. Подведемъ итоги всему. что сказали объ умноженіи. Оно начинается съ сложенія равныхъ слагаемыхъ и въ этомъ случа не пользуется никакими особенными правилами, сокращеніями и удобствами. Затмъ, благодаря практик, начинаетъ выдляться удвоеніе и оно образуетъ фундаментъ новаго дйствія—умноженія: по образцу удвоенія легко могли возникнуть другіе подобные разсчеты и удвоеніе натолкнуло на то, чтобы находить тройное число, четверное, десятерное и т. п. Вс эти употребительные случаи, повторяясь часто, привели къ таблиц умноженія и выдлили окончательно дйствіе умноженія изъ массы случаевъ сложенія. Тогда же начинается письменное производство этого дйствія, сначала въ грубой и несовершенной форм, при помощи абака и другихъ похожихъ на него пособій, съ многочисленными стираніями и измненіями цифръ; сложеніе отдльныхъ произведеній сначала шло попутно, вмст съ умноженіемъ разрядовъ, но потомъ его начали относить на самый конецъ и производить тогда, когда уже вс произведенія найдены. Въ старинныхъ способахъ умноженія устный счетъ почти не допускался, и вс цифры, какія надо, писались безъ пропуска, и въ ум ничего не удерживалось: такъ, по крайней мр, было въ Западной Европ въ средніе вка. Ближе къ нашему времени стали примнять и устный счетъ, начали помогать письму тмъ, что нкоторыя цифры удерживали въ ум, и такимъ то образомъ развился и принялъ окончательную отдлку нашъ современный нормальный способъ умноженія.
23. Индусы и Адамъ Ризе, и итальянцы XVI в. часто разлагали множителя на производителей. У итальянцевъ это называлось «per repiego». Чтобы, напр., умножить 15, можно данное число умножить на 5 и полученное вновь умножить на 3. Чтобы умножить на 121, можно умножить на 11 и опять на 11. Еще лучше у Адама Ризе: если ему надо какое-нибудь число взять слагаемымъ 46 разъ, то онъ умножаетъ данное число на 9, полученный результатъ—на 5 и ко всему этому прикладываетъ еще одно, 46 слагаемое. Хорошо бы и намъ пользоваться почаще такими сокращеніями и пріучать къ нимъ своихъ дтей въ училищахъ. Есть, правда, во многихъ школахъ, особенно въ начальныхъ, спеціальныя занятія по устному счету, но, во-первыхъ, очень жаль, что они въ средней
24. Другимъ хорошимъ способомъ, который тоже можетъ развивать сообразительность и помогать вычисленію, является слдующій. Множитель замняется новымъ числомъ, которое болыпе его въ нсколько разъ или на нсколько единицъ, и притомъ гораздо удобне для дйствія, чмъ самъ данный множитель. Напримръ, если намъ задано умножить какое-нибудь число на 25, то мы вмсто этого умножимъ на 100—такъ гораздо легче—и полученное отъ этого умноженія число раздлимъ на 4. Точно также, чтобы умножить на 98, мы можемъ умножить на 100 и изъ этого произведенія вычесть двойное множимое, потому что мы его взяли лишнихъ 2 раза. Оба эти пріема хороши для устныхъ вычисленій, они придуманы давно, еще индусами, но все еще не имютъ такого большого примненія на практик, какого заслуживаютъ по своей легкости и удобству.
25. Есть еще методъ умноженія многозначныхъ чиселъ, очень интересный и оригинальный. Онъ построенъ на совершенно иной руководящей мысли, чмъ нашъ настоящій методъ. Мы теперь интересуемся множимымъ и множителемъ, старательно подписывая ихъ другъ подъ другомъ или рядомъ, разлагаемъ ихъ на разряды и разсуждаемъ, съ которой стороны лучше начать; такъ что порядокъ вычисленія у насъ опредляется множимымъ и множителемъ, и наши заботы мало касаются произведенія, которое выходитъ какъ-то само собой, изъ сложенія частныхъ результатовъ. Наоборотъ, способъ «крестикомъ», о которомъ мы будемъ сейчасъ говорить, обращаетъ исключительно свое вниманіе на результатъ умноженія и изъ его разбора, а не изъ разбора данныхъ чиселъ, выводитъ порядокъ дйствія. Въ способ «крестика» надо сперва вычислить единицы произведенія, потомъ его десятки и притомъ сразу вс, какіе только могутъ оказаться, чтобы затмъ къ десяткамъ боле не возвращаться; потомъ надо вычислить сотни произведенія, опять-таки вс, какія только могутъ въ немъ быть; и такъ мы идемъ послдовательно отъ одного разряда къ другому. Еще греки любили пользоваться этимъ умноженіемъ и назвали его «хіазмомъ», потому что греческая буква хи «Х» какъ разъ своей фигурой напоминаетъ крестикъ.
Возьмемъ примръ сперва двузначный: 56x97 и поставимъ такой вопросъ: откуда могутъ получиться единицы произведенія? Очевидно, только отъ перемноженія простыхъ единицъ, потому что отъ умноженія десятковъ будутъ десятки, отъ сотенъ будутъ сотни и т. д. 6x7 = 42, слд. простыхъ единицъ въ отвт будетъ дв, не больше и не меньше. Итакъ, одну цифру мы нашли, она будетъ обязательно 2. Ршаемъ теперь второй вопросъ: откуда получаются десятки произведенія? Во-первыхъ, отъ умноженія десятковъ на единицы, во-вторыхъ, отъ умноженія единицъ на десятки и, кром того, нсколько десятковъ образовалось отъ перемноженія простыхъ единицъ. Больше ни откуда десятковъ получиться не можетъ, такъ какъ во всякомъ случа сотни и тысячи дадутъ по крайней мр сотни же и тысячи. Вычисляемъ десятки: 5x7 — 35, 9x6 = 54, да 4 десятка осталось отъ единицъ, всего составится ихъ 93; изъ этого 9 сотенъ пока замтимъ, а 3 десятка можемъ записать спокойно: это ужъ цифра окончательная. Высчитываемъ сотни. Въ нашемъ примр он могутъ получиться только отъ умноженія десятковъ на десятки и ихъ будетъ 45, да 9 сотенъ отъ десятковъ, всего 54 сотни. Пишемъ ихъ въ окончательномъ отвт и получаемъ: 56x97 = 5432. «Крестикъ» мы здсь примняли, когда составляли десятки произведенія, потому что въ этомъ случа мы умножали крестъ на крестъ 5 на 7 и 6 на 9. Все дйствіе можно изобразить такой фигурой:
5 6
X
9 7
————
5432
Чтобы читателю былъ ясне виденъ ходъ вычисленія, разберемъ еще трехзначныи примръ. Возьмемъ 467 X 893. Низшимъ разрядомъ въ произведеніи будутъ простыя единицы, а высшимъ—десятки ты-сячъ, потому что сотни, умноженныя на сотни, даютъ десятки ты-сячъ; всего, слдовательно, въ произведеніи будетъ 5 разрядовъ. Оііредляемъ ихъ постепенно. Прежде всего запишемъ данныя числа такъ, чтобы цифры стояли порже и между ними были свободные промежутки, э зачмъ,—это будетъ понятно дале.
Простыя единицы образуются отъ перемноженія простыхъ же единицъ; 7 x 3 = 21, единицу пишемъ и 2 въ ум. Десятки образуются отъ умноженія десятковъ на единицы и единицъ на десятки и дадутъ: 6 x 3 = 18, 9 x 7 = 63, да 2, всего 83, три пишемъ и 8 замчаемъ. Но мы пишемъ 3 десятка не подъ десятками, а въ промежутк между единицами и десятками: цль здсь та, чтобы сохранить полную симметрію въ расположеніи цифръ и строгій порядокъ, который не допустилъ бы насъ сбиться; дйствительно, какъ у насъ образовалась цифра единицъ и гд она подписана? Она образовалась отъ единицъ и подъ ними подписана: