Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]
Шрифт:
Какой смыслъ и какая цль въ подобномъ подписываніи множителя сбоку? Объ этомъ догадаться не трудно. У насъ въ примр взято двузначное число 97, а иногда случается вмсто него брать трехзначное, четырехзначное и т. д.; тогда легко бываетъ забыть, на какія цифры мы уже умножали, и на какія осталось умножать; чтобы не забыть, Петценштейнеръ и пишетъ каждую цифру при своемъ произведеніи. Еще ране его Радульфъ Лаонскій († 1131) предлагалъ, впрочемъ на абак, особенные кружки изъ дерева или изъ камня, чтобы приставлять ихъ къ тмъ разрядамъ множимаго и множителя, которые перемножаются. Надо сознаться, что Адамъ Ризе уступаетъ Петценштейнеру въ его заботахъ о множител, и наши школьники по способу Адама Ризе нердко пропускаютъ, особенно на первыхъ порахъ, цифры множителя. Для нихъ тоже не мшало бы на первое
4. Четвертый способъ принадлежитъ Кебелю, нмецкому ученому XVI вка. Множимое и множитель пишутся такъ же, какъ и у насъ, но въ произведеніи порядокъ подписыванія нарушается, и единицы отступаютъ вправо, вмсто того, чтобъ имъ стоять подъ единицами. Зачмъ это понадобилось Кебелю, и понять нельзя: нтъ въ зтой форм ни удобства, ни вообще какой-нибудь замтной цли; единственно, что тутъ можно думать, это то, что Кебель захотлъ изобрсти свой способъ и изобрлъ довольно неудачный.
Впрочемъ, на способ Кебеля учащіеся могутъ убдиться въ томъ, что неполныя произведенія можно подписывать какъ угодно, и не подъ разрядами производителей, лишь бы только выполнялось условіе, что единицы складываются съ единицами, десятки съ десятками, и т. д.
5. Пятый способъ отличается еще большей свободой въ подписываніи, въ немъ и отдльныя произведенія располагаются прямо другъ подъ другомъ, не обращая вниманія на то, что единицы оказались наискось отъ единицъ и десятки наискось отъ десятковъ; разумется, для отвта оно безразлично, складывать ли разряды вертикально или наклонно, лишь бы только не сложить единицъ съ дееятками; есть въ этомъ способ много оригинальности и пожалуй изящества, но мало удобства. Названіе его «per quadrilatero» и если перевести это выраженіе съ итальянскаго языка на русскій, то оно будетъ значить «способъ четыреугольника».
Прежде всего чертится ршетка; потомъ въ ней располагаются отдльныя произведенія такъ, что ихъ крайнія цифры стоятъ другъ подъ другомъ вертикально; сложеніе разрядовъ идетъ наискось, и цифры произведенія размщаются вправо и внизу; читать ихъ надо слва. Все это очень интересно, но для практическаго примненія мало годится. Это скорй ариметическое украшеніе, забава.
6. Вс предыдущіе пять способовъ требуютъ такого жъ основного порядка умноженія, какой и мы примняемъ всегда у себя; разница только въ подписываніи данныхъ чиселъ и искомыхъ: въ то время, какъ мы стремимся все расположить въ вертикальныхъ колоннахъ, Петценштейнеръ выноситъ множителя на сторону, Кебель отступаетъ съ произведеніемъ вправо, а по способу «четырехуголъника» разряды пишутся въ діагональномъ направленіи, т.-е. наискось; но везд умноженіе начинается неизмнно съ низшихъ разрядовъ. Теперь мы обратимся къ случаямъ, когда оно начинается съ высшихъ разрядовъ, а не съ низшихъ. Это бываетъ и у насъ, но только при томъ условіи, если не приходится перечеркивать и исправлять написанныхъ цифръ. А цифръ не бываетъ, во-первыхъ, при устномъ счет и, во-вторыхъ, при выкладкахъ на счетахъ. Поэтому въ обоихъ этихъ случаяхъ удобно начинать умноженіе съ высшихъ разрядовъ, тмъ боле, что и выговариваніе чиселъ и откладываніе ихъ на счетахъ идетъ все съ высшихъ разрядовъ. Но письменное умноженіе начинать съ лвой руки неудобно, потому что, если, напр., мы умножимъ десятки и запишемъ ихъ и потомъ перейдемъ къ единицамъ, то отъ умноженія единицъ могутъ получиться еще десятки, и намъ придется написанную цифру десятковъ стирать и замнять новой.
Далеко не безразлично, съ какихъ разрядовъ множимаго начинать письменное дйствіе, съ высшихъ или низшихъ. Послднее удобне. Что касается множителя, то въ сущности одна привычка заставляетъ насъ начинать съ единицъ, потому что можно съ такимъ же правомъ умножать сперва на высшіе разряды множителя и потомъ постепенно переходить къ низшимъ, лишь бы врно подписывать произведенія, т.-е. десятки подъ десятками, а единицы подъ единицами. Покажемъ это на примр:
Еще видне въ многозначныхъ числахъ:
7. Седьмой способъ принадлежитъ Вендлеру и отличается отъ шестого единственно тмъ же самымъ, чмъ второй отъ перваго, именно лишними нулями на мст десятковъ, сотенъ и т. д. Если вписать эти нули, то 33x4567 изобразится въ такомъ вид:
8. Восьмой
9. Девятымъ пріемомъ умноженіе производится тоже сначала на десятки, а потомъ на единицы; если бы были сотни, то, конечно, сперва на сотни. Умноживши на десятки, произведеніе подписываютъ точно такъ же, какъ это сдлали бы и мы, но съ единицами идегь иначе.
Когда мы умножимъ 456 на 7, то получимъ 3192. Изъ нихъ 319 десятковъ помщаемъ внизу, во второй строк, подъ тми цифрами, какія соотвтствуютъ имъ по значенію, а 2 единицы вверху, рядомъ съ 4 десятками, прямо подъ единицами множителя, въ виду того, что это мсто ничмъ не занято. Подобная система писать цифры какъ можно выше, на свободныхъ мстахъ, проявляется у многихъ авторовъ, какъ это мы увидимъ впослдствіи; порядокъ этотъ довольно безвредный, потому что, гд бы ни писать, лишь бы написать врно подъ своимъ разрядомъ: но онъ можетъ оказаться и неудобнымъ тогда, когда счетчикъ собьется: тогда очень трудно разобраться въ ряд цифръ, найти, какая изъ нихъ принадлежитъ къ какому произведению, и исправить ошибку. Этотъ девятый способъ приписывается Апіану (XVI в.).
10. Въ предыдущихъ 4 способахъ дйствіе начиналось съ высшихъ разрядовъ множителя, и въ этомъ только, главнымъ образомъ, и заключалась ихъ особенность; цифры подписывались почти такъ же, какъ у насъ, и вообще большого измненія противъ нормальнаго порядка не было. Но теперь мы перейдемъ къ боле грубымъ и старымъ пріемамъ, въ которыхъ уклоненій отъ нашего уже гораздо больше. Отличіемъ ихъ является полная механичность, безъ всякаго вычисленія въ ум; составители зтихъ пріемовъ держатся слишкомъ невысокаго мннія о понятливости и сообразительности своихъ учениковъ, ничего не довряютъ устному счету и рекомендуютъ все записывать, даже до мелочей, и притомъ по опредленнымъ, точно установленнымъ формамъ. Напримръ, когда умножаются десятки, то къ ихъ произведенію нельзя прямо прибавить тхъ десятковъ, которые получились отъ единицъ, а надо написать отдльно и сложить ихъ въ самомъ конц, когда вс мелкія умноженія будутъ выполнены. Эти тяжеловсные, громоздкіе способы въ настоящее время всми оставлены, и никому въ голову не придетъ ими воспользоваться, между тмъ, въ XV–XVII столтіи, въ эпоху наиболе усиленной работы надъ ариметикой, когда индусская система проникла и въ народъ, и въ школу, эти способы были ходячими и общепринятыми. Сейчасъ они не имютъ никакой цны, потому что требуютъ много лишняго письма и лишняго времени для вычисленій, мы же ихъ приводимъ съ тою цлью, чтобъ показать, изъ какихъ первоначальныхъ и несовершенныхъ формъ образовались наши боле совершенныя.
Вотъ способъ Штейнмеца (XVI в.). Примръ:
Шестью семь 42, такъ и пишемъ; пятью семь 35, пишемъ 5 десятков подъ 4 десятками, а три сотни вверху подъ сотнями, потому что там мсто есть свободное; четырежды семь 28, пишемъ 8 сотенъ подъ 3-мя, а дв тысячи на свободном мст тысячъ въ верхней строк. Вообще стараемся писать цифры какъ можно выше, гд только есть свободное мсто для извстнаго разряда. Отдльныя произведенія располагаются, какъ видимъ, строками, которыя, чмъ ниже, все короче, и получается фигура, похожая на треугольникъ, такъ что и самый способъ носитъ названіе треугольника. Послдніе его слды встрчаются въ учебникахъ еще въ XVII столтіи.
11. Умноженіе треугольникомъ иметъ не одну форму, а нсколько, въ зависимости отъ того, начинать ли дйствіе съ высшихъ разрядовъ или низшихъ, или даже какихъ-нибудь промежуточныхъ, писать ли цифры какъ можно выше или какъ можно ниже. Если начинать умноженіе съ высшихъ разрядовъ, то образуется такая фигура:
12. По двнадцатому способу умноженіе треугольникомъ начинается съ какого-нибудь средняго разряда. Конечно, зто безразлично для произведенія, если только мы не собъемся въ порядк цифръ и не пропустимъ чего-нибудь и не возьмемъ лишняго. Умножимъ сперва 5 дес. на 97, потомъ 4 сотни и, наконецъ, 6 единицъ.