Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

Беллюстин Всеволод Константинович

3) Въ знаменитомъ труд по ариметик, который у арабовъ считается образцовымъ, классическимъ, и который принадлежитъ Бэгаэддину (1547—1622), встрчается такое расположеніе: (975741: 53= 18410).

Частное пишется въ самомъ верху. Цифры длимаго не сносятся внизъ, но вмсто этого чертятся, для удобства, колонны, чтобы не сбиться въ цифрахъ. Оба разряда длителя, 5 дес. и 3 ед., помножаются отдльно на частное и отдльно же вычитаются. Длитель переписывается столько разъ, скодько разрядовъ въ частномъ. Здсь повторяется опять то же, что мы видли и въ умноженіи, гд множитель переписывался нсколько разъ. Причина опять та же, что и въ умноженіи, и заключается она въ слдующемъ. Способъ Бэгаэддина получилъ начало, очевидно, еще

тогда, когда вычисленія шли на абак, покрытомъ пескомъ, и когда, слд., легко было длителя стереть и его же переписать снова, расположивши снова подъ тми разрядамі, которые длятся; съ теченіемъ времени абакъ былъ оставленъ, математики стали пользоваться бумагой, а между тмъ манера переписыванія все еще сохранилась и привела къ большимъ неудобствамъ, къ затрат лишняго труда, къ потер времени и мста. Вотъ что значитъ инерція, не просвтленная лучами разума!

4) Апіанъ въ XVI ст. даетъ такое же расположеніе, какое дали бы и мы, но только онъ подписываетъ числа не разрядъ подъ разрядомъ, а просто крайнюю цифру подъ крайней. Раздлить 97535376 на 9876, получится 9876. Пишется длимое, подъ нимъ длитель, а частное сбоку. a b c

9 7 5 3 5 3 7 6 ( 9 8 7 6

9 8 7 6

8 8 8 8 4

8 6 5 1 3 a

7 9 0 0 8

7 5 0 5 7 b

6 9 1 3 2

5 9 2 5 6 c

5 9 2 5 6

5) Тарталья, изобртательный итальянскій математикъ XVI в., не только учившій по старин, но и отъ себя предлагавшій много оригинальныхъ и удобныхъ пріемовъ, для большей ясности расчленяетъ дйствіе на рядъ отдльныхъ вычисленій, смотря по тому, сколько цифръ въ частномъ.

Вотъ, какъ онъ выполняетъ дленіе 2596860019 на 38784.

Частное 67019, остатокъ 7807. При этомъ Тарталья говоритъ, что хорошо бы передъ дленіемъ заготовлять произведенія длителя на вс однозначныя числа; тогда видне было бъ, какою цифрою задаваться въ частномъ, да и не нужно составлять отдльно произведеній длителя на цифры частнаго, такъ-какъ они ужъ есть, и останется прямо вычитать.

6) Клавіусъ въ XVII ст. вводитъ нашъ знакъ дленія (при помощи угла), но числа при дленіи располагаетъ не по нашему. Примръ: 1902942 : 2978=639.

7) Вендлеръ, нмецкій педагогъ XVII в., употребляетъ почти нашъ пріемъ, съ тою только разницей, что длитель и частное у него ставятся по обимъ сторонамъ длимаго.

Кром того, цифры длимаго не сносятся, а остаются на своемъ прежнемъ мст вверху.

8) Пешекъ въ XVIII ст. вычисляетъ такъ же, какъ и Вендлеръ. Пешекъ даетъ нашему способу названіе французскаго.

9) Баргь въ XVIII ст. пишетъ длителя подъ длимымъ при всякомъ частномъ дленіи, слд. столько разъ, сколько разрядовъ въ частномъ. 66734 : 325= 205 ¹⁰⁹/₃₂₅

10) Въ русскихъ математическихъ рукописяхъ XVII столтія встрчаются, какъ и слдовало ожидать, т же самые пріемы, какіе выработала Западная Европа. Они перешли къ намъ черезъ Польшу, такъ какъ именно польская ученость давала пищу русской образованности XVII вка. Чаще всего въ это время встрчается способъ Апіана (см. выше, 4). У Магницкаго, стр. К а оборот представлено дленіе въ такомъ вид.

Здсь длимое 5175 помщено во второй строк, частное справа, длитель 15 переписывается трижды (въ третьей и пятой строкахъ), четвертая и пятая строка отведены частнымъ произведеніямъ, а верхняя—остатку отъ вычитанія. Изъ этого видно, что цифры расположены довольно несистематично и неудобно, такъ что сбиться въ нихъ очень легко. Но, по правилу, «изъ двухъ золъ выбирай менынее», Магницкій очень доволенъ этимъ способомъ и одобряетъ его въ слдующихъ выраженіяхъ: «Мнози убо длятъ перечни сицевымъ образомъ: егда длителемъ емлютъ, изъ числъ длимаго, и написавши за чертою, умножаютъ имъ весь длитель и, подписавши вычитаніемъ, вычитаютъ изъ длимаго. И намъ видится, сицевымъ образомъ есть удобнйше, но тмъ иже слабйшеее разумніе и тщаніе имутъ: зане не толикаго есть домышленія, и остроты». Дале у Магницкаго идетъ способъ, цохожій на Барта (см. выше, 9), и способъ Вендлера (выше, 7). Вліяніе Вендлера вполн замтно въ ариметик Василія Адодурова (1740 г), Румовскаго (1760 г.), Кузнецова (1760 г.). У Загорскаго (1806 г.) является нашъ нормальный способъ во всей чистот.

Австрійскій способъ дленія.

Подъ именемъ австрійскаго способа разумется такой, который хотя и похожъ на нашъ нормальный, но отличается отъ него большімъ примненіемъ устнаго счета. Австрійскій способъ можно считать шагомъ

впередъ сравнительно съ нашимъ способом, въ немъ меньше шісьма и самое дйствіе совершается вслдствіе этого гораздо быстре, правда, есть въ немъ и неудобство: именно, человкъ, мало-мальски невнимательный, легко въ немъ сдлаетъ ошибку и собьется. Для примра возьмемъ 167585 : 365. Первая цифра частнаго будетъ 4; составляемъ произведеніе 365 на 4, начиная съ низшихъ разрядовъ, но не подписываемъ этого произведенія подъ длимымъ, а вычитаемъ каждый разрядъ его, какъ только онъ получится, и пишемъ прямо остатокъ: 4x5=20, слд. въ остатк 5; 4x6=24, да 2, 26, 6 изъ 7=1, слд. въ остатк 1; дале 3x4=12 да 2—14, 14 изъ 16 даетъ въ остатк 2; всего получится посл вычитанія 215; сносимъ слдующую цифру 3 и длимъ новое число 2153 такъ же, какъ и предыдущее, т.-е. одновременно производимъ умноженіе и вычитаніе.

Австрійская метода стала выдвигаться на первый планъ сравнительно недавно, съ средины XIX вка, но зачатки ея простираются вплоть до XVII вка; еще Вендлеръ даетъ образецъ такого сокращеннаго дленія.

Кегель въ XVII ст. даетъ боле грубую форму этого способа, такъ какъ онъ начинаетъ умноженіе съ высшихъ разрядовъ, а не съ низшихъ и ему приходится лишній разъ измнять цифры. Вотъ какъ у него идетъ дленіе 135513 на 21:

Наконецъ, Маурахеръ (XVIII в.) пользуется такимъ расположеніемъ вычисленія:

При этомъ частное 12345 помщается внизу, длитель 8 слва, а длимое 98760 праве длителя.

Испанскій способъ дленія.

Это самая употребительная, самая распространенная форма дленія. Теперь ея уже нтъ въ учебникахъ и объ ней не вспоминаютъ, но почти въ теченіе тысячи лтъ, съ IX вка до XIX, она являлась общеизвстной и популярной формой. Начало ей положили арабы; черезъ Испанію она была принесена въ Западную Европу и потому получила названіе «испанскаго» способа. Участь его можно сравнить съ той, которую пришлось испытать обученію грамот по методу: «буки азъ ба». Теперь этотъ методъ отжилъ свой вкъ и скоро о немъ, наврное, забудутъ, а въ свое время онъ пользовался общепризнаннымъ авторитетомъ и на немъ воспитывался длинный рядъ поколній: наши отцы, дды и прадды, и дды нашихъ праддовъ. Тоже случилось съ испанскимъ дленіемъ. Сколько надъ нимъ старались, сколько хлопотали надъ его усовершенствованіемъ, а сейчасъ его забыли. Правду сказать, горевать объ этомъ не приходится, потому что—то было дленіе длинное, сбивчивое и обильное всякими недоразумніями. Надо думать, что корень его скрывается въ индусской математик, судя по тому, что вычислять подобнымъ образомъ очень удобно было на песк, какъ то было принято у индусовъ. Когда же этотъ способъ сталъ примняться на бумаг, то получилось нчто несообразное по основной иде: цифры, которыя слдовало стирать, оставались нетронутыми (иногда зачеркивались), нагромождались другъ на друга и давали массу лишняго и безполезнаго письма. Приведемъ примры.

1) Примръ Альхваризми, араба IX столтія. Требуется 46468 раздлить на 324, частное 143.

Какъ видно, длимое въ средин; подъ нимъ помщается длитель и при томъ переписывается столько разъ, сколько цифръ въ частномъ; такое передвиженіе осталось, конечно, отъ вычисленій на песк, когда такъ легко было стирать цифры и писать ихъ еще разъ въ боле удобномъ положеніи; первая цифра частнаго будетъ 1, первый остатокъ 140 пишется надъ частнымъ; теперь надо длить 1406 на 324, въ частномъ будетъ 4; умноженіе 324 на 4 идетъ съ высшихъ разрядовъ и одновременно же происходитъ вычитаніе. Вотъ гд, между прочимъ, основаніе для австрійскаго способа, разобраннаго нами выше. Такъ какъ 3x4=12, то вычитаемъ 12 изъ 14-ти и иолучаемъ 2, которое и пишемъ надъ 4-мя; дале 2x4=8, 8 изъ 10=2, слд. надъ нулемъ надо помстить 2, а прежнюю цифру десятковъ 2 надо замнить новой 1, написавши эту 1 надъ двумя. Такъ дйствіе идетъ до самаго конца, т.-е. умноженіе производится съ высшихъ разрядовъ и сопровождается вычитаніемъ, при чемъ измненныя цифры переписываются выше.

2) Альнасави, арабскій писатель XI вка, нсколько упрощаетъ письмо и даетъ хоть небольшой просторъ устному счету. 2852:12 онъ ршаетъ такъ:

Интересно отмтить, какъ Альнасави изображаетъ частное. Цлое число 237 онъ пишетъ вверху, подъ нимъ остатокъ, а подъ нимъ уже длителя; все это считается обозначеніемъ смшанной дроби 237⁸/₁₂.

Греческій монахъ Максимъ Планудесъ, одинъ изъ немногихъ представителей византійской учености, даетъ еще боле легкій образецъ дленія, но, конечно, Планудесъ потому такъ легко справляется, что примръ-то самъ по себ не замысловатъ. 4865 : 5=973. Вычисленіе идетъ такъ: