Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]
Шрифт:
Навонецъ, третья земельная мра—десятина. Она и въ настоащее время очень употребительна. Различаютъ десятину казенную въ 2400 кв. саж. и хозяйственную въ 3200 кв. саж. Каково происхо-жденіе десятины и что она обозначала въ своей цервоначальной форм? Слово «десятина» звучитъ слишкомъ знакомо для насъ и иметъ очевидную связь со словомъ «десять» или врнс съ выраженіемъ «десятая часть». Владиславлевъ въ стать «Происхожденіе десятины, какъ земельной мры» («Ж. М. Н. П.», 1895, II) объясняетъ происхожденіе десятины слдующимъ образомъ. Въ старину крестьяне брали землю у помщиковъ и нердко пользовались ею съ такимъ условіемъ, чтобы обработать въ пользу владльца извстную долю того участка, который они арендуютъ. Обыкновенно этой долей служила десятая часть—десятина. Предположимъ теперь, что земельный участокъ, необходимый для прокормленія одной семьи, отличался постоянствомъ, т.-е. былъ приблизительно одинаковъ въ разныхъ мстностяхъ, тогда, значитъ, и десятая доля его, десятина, получаетъ довольно
Бобынинъ держится другой точки зрнія. Возьмемъ, говоритъ онъ, такой квадратъ, чтобы сторона его содержала десятую часть версты, т.-е. 50 саженъ, тогда площадь такого квадрата будетъ имть 2500 кв. саж.; остается теперь только допустить, что съ теченіемъ времени эта площадь нсколько уменьшилась и обратилась въ 2400 кв. саж., въ такомъ случа ясно будетъ, что такое десятина это квадратная площадь, со стороною, равною десятой части версты.
Кром перечисленныхъ нами трехъ мръ были въ употребленіи еще такія: a) Выть, это 5 -10 десятинъ крестьянской пашни, b) Новгородская соха, или сошка, въ 10 разъ меньше московской; въ сох 3 обжи, въ обж 5 коробьевъ. Особыя земельныя мры сущехтвовали, повидимому, въ Тверскомъ княжеств. Въ монгольскій періодъ въ юго-западной Россіи были земельныя мры: уволока, моргъ и прутъ; въ уволок 30 морговъ, въ морг 30 прутовъ. Моргъ на наши мры составляетъ приблизительно пол-десятины. (Вс эти свднія заимствованы изъ сочиненія Бобынина «Состояніе физико-матем. знаній въ Россіи въ ХVІІ в.»).
Мры вмстимости. Въ старину он представляли гораздоболе сложную таблицу, чмъ теперь. Вотъ что встрчаемъ въ ХУІГ ст.
Оковъ—4 чети,
четвертокъ—2 чети,
четь—2 мры или 2 осмины,
осмина—2 полуосмины,
мра—2 полумры,
полмры—2 четверика,
четверикъ—2 получетверика.
Изъ этого видно, что четверть являлась четвертой долей окова, а четверикъ четвертой долей мры, при чемъ послдняя считалась осьминой, т.-е. восьмой частью окова.
Мры вса. Въ XVII и ХVIII ст. встрчаются большею частью знакомые намъ берковецъ, пудъ, фунтъ. Но на ряду съ ними перечисляется цлая масса иностранныхъ мръ, и стариншхъ, и современныхъ. Знаніе ихъ было очень необходимо тогдашнему торговому человку, потому что вс обороты шли чрезъ «иноземныхъ гостей»: голландцевъ, англичанъ, венгровъ и т. д. У Магницкаго приведены мры латинскія (ассъ, унція и ихъ доли), греческія (талантъ, мина, драхма и др.), польскія, прусскія, литовскія, краковскія, голлапдскія и много другихъ; перечисленіе ихъ занимаетъ нсколько страницъ въ ариметик, а для ясности приложены сравнительныя таблицы, довольно длинныя.
Мры стоимости. Уже ко времени Ярослава Мудраго существовала на Руси монета «гривна». Въ ней было 20 ногатъ, или 50 рзанъ. Различаются гривны кунныя, серебряныя и золотыя; изъ нихъ кунныя готовились изъ низкопробнаго серебра и стоили вчетверо дешевле настоящихъ серебряныхъ; предполагаютъ, что изъ серебряной гривны образовался вь Новгород къ XV вку рубль; золотая гривна въ 12 1/2 разъ дороже серебряной и всила около 20 золотниковъ. Съ петровскихъ временъ стали чеканиться монеты «гривенники».
Рубль получилъ свое названіе отъ слова «рубить» и представлялъ собой отрубленный кусокъ серебра всомъ около полфунта. Онъ принадлежалъ, главнымъ образомъ, къ новгородскимъ монетамъ, но попадались и московсвіе рубли, которые были вдвое меныне новгородскихъ. Въ рубл содержалось 10 гривенъ, или, врне, гривенниковъ. Гривенникъ равнялся 10-ти новгородкамъ, т.-е. новгородскимъ мелкимъ серебрянымъ (XV в.) монетамъ, или 10 копейкамъ, т.-е. московскимъ монетамъ. Происхожденіе слова «копейка» объясняется такъ. Это была небольшая серебряная монета, на которой изображался великій князь — верхомъ на кон; въ рукахъ онъ держалъ копье, а такъ какъ монетка была невелика, то и копье было очень маленькое, и прозвали его копейкомъ, и отсюда получилось названіе самой монеты—копейка. По крайней мр, во временник (лтописи) XVІ в. прямо говорится: «оттол прозваша деньги копейныя». Серебряныя копейки всили около 10 долей. При Алекс Михайлович стали чеканить мдныя копейки.
Алтынъ — татарскаго происхожденія: «алты» по-татарски значитъ шесть; алтынъ содержалъ 6 денегъ, т.-е. 6 полукопеекъ. При Петр Великомъ чеканились серебряные алтыны.
Деньга равнялась половин копейки. До XVI вка она чеканилась изъ серебра, а потомъ ее стали готовить изъ мди. Съ 1829 г. переименовали ее въ денежку. Ея нельзя смшивать съ полушкой, иначе сказать, съ полуденьгой, которая равна 1/4 копейки. Это была уже самая мелкая монета на Руси. Впрочемъ, Карамзинъ приводитъ еще другія доли: въ полушк 2 полуполушки, въ полуполушк 2 пирога, въ пирог 2 полупирога, въ полпирог 2 четверти пирога.
Обыкновенныя (простыя) дроби
Необходимость дробей должна чувствоваться всякимъ человкомъ, который желаетъ хоть немного выйти за предлы начальныхъ вычисленій. И въ практической жизни, и при первыхъ же шагахъ науки дроби
Прежде всего наталкиваетъ на необходимость дробей дленіе съ остаткомъ. Интересны попытки, которыя длались старинными авторами для того, чтобы какъ-нибудь обойтись безъ дробей и провести все дло легко и спокойно, т. — е въ цлыхъ числахъ. Такъ, въ арабской рукописи 12-го вка по Р. X. ршается вопросъ «раздлить 100 фунтовъ между 11-ю человками поровну»; какъ видно, здсь получается остатокъ—1 фунтъ, его предлагаютъ промнять на яйца, которыхъ по существующимъ цнамъ придется 91 штука; тогда на каждаго человка можно дать по 8 яицъ и еще 3 яйца въ остатк: что длать съ ними? ихъ авторъ рекомендуетъ отдать тому, кто длилъ, за его труды или же промнять на соль къ яйцамъ. Еще проще поступаетъ представитель римской монастырской учености IX вка Одо Клюнійскій. Требуется ему раздлить 1001 фунтъ на 100. Остатокъ 1 онъ дробитъ въ унціи, драхмы и т. д. до тхъ поръ, пока только можно дробить. И такъ какъ въ конц концовъ еще получается маленькій остатокъ, то его Одо предлагаетъ совсмъ бросить и не брать въ счетъ. Но при этомъ вдь происходитъ ошибка, хотя и небольшая, и автору ничего иного не остается, какъ извинить свою ошибку несовершенствомъ всего земного и всхъ людскихъ дяній и для большей убдительности привести даже латинскіе стихи.
R'erum v'ero par'ens qui s'olus c'uncta tu'eturC'um sit c`uncti pot'ens, perf'ectus solus hab'etur.Отецъ вселенной, — который все содержитъ,Одинъ владетъ всмъ, одинъ безъ недостатковъ.Изъ нихъ авторитетно вытекаетъ, что только небесное свободно отъ ошибокъ и обладаетъ совершенствомъ.
Понятна та осторожность и та боязнь, съ которой въ старину относились къ дробямъ. Это былъ труднйшій и запутаннйшій отдлъ ариметики. Не даромъ и сейчасъ у нмцевъ сохранилась поговорка «попасть въ дроби» (in die Br"uche gerathen), что совершенно равносильно нашему «стать въ тупикъ», т.-е. зайти въ такой проулокъ, выходъ изъ котораго застроенъ. Трудность увеличивалась и осложнялась, главнымъ образомъ, тмъ, что не принято было давать никакихъ объясненій, и вся старательность ученика направлялась на заучиваніе правилъ, безъ всякаго пониманія того, откуда эти правила вытекаютъ. Кстати, и самая глава о дробяхъ была мало разработана и представлялась неясной даже для составителей учебниковъ, потому что дроби то смшивались съ именованными числами, то принималисъ состоящими изъ 2 чиселъ—числителя и знаменателя. Въ понятіяхъ о дйствіяхъ надъ дробями была большая путаница, особенно, что касалось умноженія и дленія, да и сейчасъ въ наши дни этотъ туманъ не разсялся; напр., первые 2–3 года, пока ребенокъ учитъ цлыя числа, ему толкуютъ, что умножить значитъ увеличить въ нсколько разъ, а потомъ, когда онъ переідетъ къ дробямъ, его начинаютъ убждать, что умножить вовсе не значитъ увеличить. Между тмъ, какъ легко было бы устранить все это, если бы взглянуть на дло попроще и согласиться, что умножить въ цлыхъ числахъ значитъ взять слагаемымъ нсколько разъ, а въ дробяхъ—взять долю числа. Трудны были дроби прежде, нелегки он и теперь, а такъ какъ изученіе ихъ очень полезно и необходимо, то преподаватели старались и въ проз, и въ стихахъ ободрить своихъ учениковъ и цобудить ихъ пересилить трудности. Знаменитый римскій ораторъ Цицеронъ (въ 1 ст. до Р. X.) счелъ долгомъ сказать свое авторитетное слово по этому случаю: «sine fractionibus arithmetices peritus nemo esse potest»; это значитъ: «безъ знанія дробей никто не можетъ признаваться свдущимъ въ ариметик». То же самое встрчаемъ у нашего Магницкаго въ такихъ стихахъ:
Но нсть той ариметикъ,Иже въ цлыхъ отвтникъ,А въ доляхъ сый ничтоже,Отвщати возможе.Тмже о ты радяй,Буди въ частяхъ умяй.Особенное уваженіе къ дробямъ свидтельствуетъ авторъ одной славянской рукописи XVII в. Именно, разсуждая о тройномъ правил, онъ говоритъ:
«Нсть се дивно, что тройная статія въ цлыхъ, но есть похвально, что въ доляхъ».
Разсмотримъ теперь подробно, какъ развилось ученіе о дробяхъ у различныхъ народовъ.
Древніе египтяне задались въ этомъ отношеніи чрезвычайно оригинальной мыслью. Они пользовались только такими дробями, у которыхъ числитель непремнно единица; вс остальныя дроби они считали неудобными для вычисленія и старались замнять ихъ этими основными дробями, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единиц, такъ что когда египтянину требовалось произвести какое-нибудь дйствіе надъ дробями, то онъ сперва замнялъ данныя дроби основными, за-тмъ длалъ вычисленіе и уже въ конц-концовъ изъ ряда основныхъ дробей выводилъ одинъ общій отвтъ. Вс замны, которыя требовалось при этомъ длать, совершались при помощи обширныхъ таблицъ, спеціально заготовленныхъ на этотъ случай. Вотъ какъ начинаются эти таблицы: