Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

Беллюстин Всеволод Константинович

Замтимъ, что вычисленія съ долями долей очень древняго происхожденія, они ведутъ свое начало отъ греческаго математика Герона (во II ст. до Р. X.). Были выработаны спеціальные пріемы, какъ обозначать часть дробнаго числа. Напр., у арабовъ примнялось такое обозначеше:

,которое должно показывать ⁴/₅ отъ ³/₇ отъ 5/8 , т.-е. окончательно ³/₁₄. У Леонардо Фибонначи (въ XIII ст. по Р. X.) формула

равна, согласна нашему порядку,

всего 22²⁴/₃₅,

а формула

равна

Вотъ какая путаница вносилась этимъ отдломъ совершенно безъ всякой нужды. Также и въ русскихъ матем. сборникахъ XVII—XVIII в. этотъ отдлъ давалъ не мало сбивчивости. Онъ назывался «выниманіе дробовое» или «вычитаніе доли изъ долей». Его нельзя было смшивать съ другимъ дйствіемъ, которому придано созвучное заглавіе, т.-е. съ «вычитаніемъ въ доляхъ», гд разсматривается наше вычитаніе дробныхъ чиселъ. Составителю учебника приходилось не мало разъяснять, что-бы предостеречь ученика отъ смшиванiя вычитанія и нахожденія части, такъ что предъ вычитаніемъ помщено было отдльное разъясненіе «о разумніи, что есть доли изъ долей».

Обратимся теперь къ чистому умноженію дробей, какъ отдльному дйствію. Обособляться оно стало только въ средніе вка, и тогда ему придано было названіе «умноженіе», древняя же математика ограничивалась только нахожденіемъ простйшихъ частей числа, тмъ боле, что даже и въ цлыхъ числахъ она стремилась привести умноженіе къ сложенію. У Бернелинуса, ученика римскаго папы Сильвестра II (въ XI в.), умноженіе ¹/₃₆ на 1/3 совершается по римскимъ образцамъ слдующимъ образомъ: ¹/₃₆ обращается въ доли фунта; въ фунт 12 унцій, слд., унція равна ¹/₁₂, а такъ какъ въ унціи 24 скрупула, то дробь ¹/₃₆ обратилась въ 8 скрупуловъ; 1/3 равна 1/3 фунта, т.-е. 4 унціямъ; множимъ теперь 1/3 фунта на 1/3 унціи, т -е. на 8 скрупуловъ, и получается ¹/₉ унціи, иначе сказать 2 2/3 скрупула, а такъ какъ 2 скрупула составляютъ особою мру, которая называется «emisescla», то окончательный отвтъ представится въ вид 1 1/3 «emisescla». Да, можно сказать, что способъ Бернелинуса очень и очень нелегокъ.

У Фибонначи (XIII ст. по Р. X.) подъ вліяніемъ арабскихъ и индусскихъ образцовъ нтъ вычисленія съ унціями, и дло идетъ просто съ отвлеченными долями. Фибонначи пользуется такимъ способомъ. Сперва онъ перемножаетъ числителей, а потомъ получившееся число длитъ на перваго знаменателя и, затмъ, уже это частное длитъ на второго знаменателя.

Петръ Рамусъ, знаменитый французскій математикъ и философъ XVI столтія, даетъ въ глав о дробяхъ, какъ и въ другихъ отдлахъ математики, много свжихъ и новыхъ мыслей. Онъ особенно настаиваетъ на томъ, что ученикамъ надо объяснять правила, а не только принуждать выучивать ихъ наизусть, и что правила надо выводить, а не только примнять готовыя къ примрамъ. Однако, самъ Рамусъ, вслдствіе той туманности, которую придавали ариметик его предшественники, не всегда одинаково ясно и удачно ведетъ свое изложеніе, такъ что въ случа умноженія дробей мы находимі, у него такой запутанный выводъ: «дано умножить 3/4 на 2/3 , это значитъ найти 3/4 части отъ дроби 2/3 ; разсуждаемъ по тройному правилу—1 относится къ 3, какъ 2 къ 6, и 1 относится къ 4, какъ 3 къ 12, слдовательно, отвтъ будетъ : ⁶/₁₂ это и есть произведеніе 2/3 на 3/4 ».

Русскіе математики XVII и XVIII в. слдовали въ глав объ умноженіи западно-европейскiмъ образцамъ. Они разсматривали 3 случая: a) умноженіе дроби на цлое, b) умноженіе дроби на дробь и c) умноженіе смшанныхъ чиселъ. Въ конц, въ такъ наз. «строк генераль» давалось общее правило перемноженія дробей. Неизмняемость произведенія при перестановк производителей объяснялась въ такихъ выраженіяхъ:

«вдаи доли изъ доли умноженіе, какъ 1/3 изъ 1/4 умножаи придетъ ¹/₁₂ такожъ 1/4 изъ 1/3 то-жъ ¹/₁₂».

 Знакъ при умноженіи дробей всегда употреблялся такой: одна горизонтальная черта проводилась отъ числителя къ числителю, а другая отъ знаменателя къ знаменателю, и это служило хорошимъ знакомъ дйствія, такъ какъ этимъ обозначался порядокъ вычисленія.

Замчательно мсто у Магницкаго,

въ которомъ онъ трактуетъ объ умноженіи простыхъ дробей. Здсь явственно вылилась вся нетребовательность по отношенію ко всякимъ выводамъ и объясненіямъ. Достаточно сообщить правило, а кром него что же еще надо? такъ, наврное, думаетъ Магницкій, и мы не можемъ отказать себ въ томъ, чтобы не привести отрывка изъ его ариметики. Стр. 54

«Мултипликаціо или умноженіе въ доляхъ. Что въ семъ предленіи достоитъ вдати. Впервыхъ подобаетъ вдати яко во умноженіи нсть потреба да сравняеши доли къ единакому знаменателю: но яковы доли дадутся, таковы и умножати числители чрезъ чиелители, и знаменатели чрезъ знаменатели, якоже 3/8 чрезъ 1/4 . 3 чрезъ 1 будетъ 3, а 8 чрезъ 4, будетъ 32, и еже отъ числителей произыдетъ напиши надъ чертою, а отъ знаменателей произведеное напиши подъ чертою и будетъ ³/₃₂».

Итакъ, въ ариметик дается только правило, безъ вывода, зато посл правила идетъ цлый рядъ примровъ, всего 60 номеровъ, съ отвтами, и предлагается заняться продлываніемъ этихъ примровъ, чтобы, такъ сказать, набить руку въ этомъ правил.

Преемники Магницкаго, т.-е. составители русскихъ учебниковъ XVIII и даже ХІХ в., не оказались счастливе его въ этомъ случа. Они тоже или не даютъ никакихъ объясненій умноженія дробей, или даютъ объясненія спутанныя и трудныя. Такъ, въ ариметик Адодурова (1740 г.) про умноженіе дробей объясняется на 29 страницахъ, при чемъ объясненіе дано очень растянутое, многословное и малоубдительное. У Румовскаго (1760 г.) передъ дробями расположены пропорціи, и умноженіе дробей выводится изъ общаго свойства пропорцій, именно, что произведеніе крайнихъ членовъ равно произведенію среднихъ членовъ. И сами пропорціи являются для учениковъ темнымъ мстомъ, а ужъ про выводъ изъ нихъ и говорить нечего, особенно когда он идутъ на буквахъ, какъ это видимъ у Румовскаго. Порядочное изложеніе встрчаемъ мы у Загорскаго (1806 г.), но уже у Павла Цвткова (1834 г.) опять тянется старая псня. «Какъ множится дробь на дробь?» спрашиваетъ онъ, и отвчаетъ:

«При умноженіи дробей на дроби надлежитъ множить числітелей на числителей, а знаменателей на знаменателей».

Этимъ заканчивается § 34, и авторъ уже боле не желаетъ возвращаться къ подобному скучному вопросу, къ которому, вдобавокъ, никакъ еще не придумать подходящаго объясненія. И это въ то время, когда Цвтковъ для боле легкаго вопроса, для умноженія дроби на цлое, находитъ нужнымъ и возможнымъ дать толковое объясненіе.

Да, умноженіе на дробь и въ старину, и еще теперь является однимъ изъ самыхъ больныхъ мстъ начальной ариметики.

Дленіе. Дленіе дробей шло все время правильнымъ путемъ, безъ скачковъ и отклоненій въ сторону. Еще древніе египтяне вполн логично заключали, что дленіе обратно умноженію, и что поэтому его можно привести къ умноженію. По своей привычк къ основнымъ дробямъ, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единиц, они и дленіе разсматривали съ точки зрнія этихъ дробей. Примръ: 2 : 1 1/3 1/4 . Здсь египтяне ставили вопросъ: на какое чиоло надо помножить выраженіе 1 1/3 1/4 , иначе сказать 1 + 1/3 + 1/4 , чтобы получить въ произведеніи 2? Для этого помножаемъ количество 1 1/3 1/4 на 2/3 1/3 ¹/₆¹/₁₂, и получаемъ ²⁸⁵/₁₄₄; при этомъ отдльно помножается множимое число на 2/3 , на 1/3 , на ¹/₆ и на ¹/₁₂, съ такимъ расчетомъ, чтобы каждое слдующее произведеніе было вдвое меньше предыдущаго. Такъ какъ ²⁸⁵/₁₄₄ отличается отъ даннаго числа 2 на ³/₁₄₄, т.-е. на ¹/₇₂¹/₁₄₄, то остается ршить вопросъ: на какое число надо умножить 1 1/3 1/4 , или ²⁸⁸/₁₄₄, чтобы получить сперва ¹/₁₄₄? Очевидно, на ¹/₂₂₈. Чтобы получить ¹/₇₂, надо умножить на ¹/₁₁₄ Такимъ образомъ, посл довольно запутаннаго вычисленія получается итогъ: 2/3 1/3 ¹/₆¹/₁₂¹/₁₁₄¹/₂₈₈, который и считался у египтянъ вполн нормальнымъ, какъ составленный изъ основныхъ дробей (дробь 2/3 у нихъ тоже признавалась основной, это единственная изъ дробей съ числителемъ 2, у нея даже былъ свой спеціальный знакъ).