Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

Беллюстин Всеволод Константинович

Здсь между долями подразумвается, очевидно, сложеніе, такъ

Съ дробями, у которыхъ числитель больше двухъ, приходилось немало хлопотать, и составителямъ таблицъ досталось немало труда, напр., надъ разложеніемъ дроби ⁷/₂₉. Ходъ вычисления такой:

При помощи такихъ таблицъ египтяне умли обходиться безъ приведенія дробей къ одному

знаменателю; для этого они переводили слагаемыя въ основныя дроби на основаніи таблицъ, соединяли вс эти основныя дроби въ одну массу и потомъ смотрли, опять же руководствуясь таблицами, какой одной дроби равняется вся эта масса. Какъ составлялись подобныя таблицы? Точнаго отвта дать сейчасъ нельзя, тмъ боле, что они заимствованы изъ папируса Ринда, а этотъ папирусъ относится ко времени за 2000 лтъ до Р. X. Можно догадываться, что едва ли вс строки принадлежатъ одному составителю, врне всего отдльные результаты тщательно собирались въ общій сводъ, такъ что на нкоторые отвты приходилось наталкиваться случайно, при какихъ-нибудь другихъ вычисленіяхъ.

Такъ какъ египтяне пользовались только основными дробями, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единиц, то они, обыкновенно, вовсе и не писали числителя, а только подразумвали его, писали же одного знаменателя; но чтобы не смшать дробь съ цлымъ числомъ, они надъ цифрами знаменателя ставили точку. Изъ производныхъ же дробей разсматривалась только ²/₃ у которой былъ свой знакъ, такъ что эта дробь принималась за какую-то особенную величину, не стоящую въ прямой связи ни съ цлыми числами, ни съ дробями.

Арабы, очевидно, подъ вліяніемъ египтянъ, раздляли дроби на «выговариваемыя» и «невыговариваемыя». Такіе термины встрчаются, напр., въ VIII—IX в. по Р. X. Выговариваемыми дробями были т, у которыхъ числитель единица, а знаменатель отъ 2 до 9; для нихъ есть особенныя названія, въ род нашихъ «половина», «треть» и т. д. Невыговариваемыми дробями были вс остальныя, и, напрВыговариваемьши дробями были т, у которыхъ числитель единица, а знаменатель отъ 2 до 9; для нихъ есть особенныя названія, въ роднашихъ «половина», «треть» и т. д. Невыговариваемыми дробями были вс остальныя, и, напр., ¹/₁₃ выражалась описательно такъ: одна изъ тринадцати долей; ¹/₃₀ такъ: шестая часть одной пятой.

Древніе греки часто вводили въ вычисленія дроби. Обозначали они ихъ такъ: сперва писали числителя и сверху справа ставили значекъ въ род запятой, потомъ дважды повторяли знаменателя и приписывали каждый разъ значокъ въ вид 2-хъ запятыхъ. Напр., ³/₂₁= 'K'' K'', такъ какъ у грековъ обозначаетъ 3, а единицу, К двадцать. Однако чаще всего греки, по примру египтянъ и арабовъ, пользовались основными долями и при этомъ обыкновенно пропускали числителя, а знаменателя писали съ присоединеніемъ 2 черточекъ, и выходило, напр., что ¹/₂₁=K''. Если нсколько основныхъ дробей писалось подъ рядъ, то это значило, что ихъ надо сложить. Особенные знаки были для половины: (старинная греческая буква сигма) и для 2 третей: .

Индусы, въ лиц одной изъ древнйшихъ своихъ отраслей — доисторическаго племени Тамуловъ, выражали вс доли при помощи только 1/2 , 1/4 , ¹/₁₆, ¹/₄₀, ¹/₈₀, ¹/₉₆₀. Для которыхъ у нихъ были особенныя названія и знаки. Вс другія дроби они старались привести къ шести указаннымъ, и это имъ въ болыпинств случаевъ удавлось порядочно, такъ какъ комбинаціи этихъ долей даютъ почти цлую единицу.

У индусскаго математика Брамагупты (въ XI в. по Р. X.) имется довольно развитая система простыхъ дробей. У него встрчаются различныя дроби, и простыя и производныя, т.-е. съ числителемъ и 1, и любое число. Числитель и знаменатель пишутся такъ же, какъ у насъ, но только безъ горизонтальной черты, а просто ставатся одинъ подъ другимъ. Выше числителя помщается цлое число, если оно есть. И выходитъ по индусскому порядку {| | ||7 |- |5|| |- | |8 |}, а по нашему—5⁷/₈.

Представители

позднйшей арабской учености (XI в.) копируютъ индусскій порядокъ. Если цлыхъ нтъ, то они вверху помщаютъ нуль. Вотъ изображеніе восточно-арабскими цифрами;

отсюда видно, что нуль у восточныхъ арабовъ писался въ вид точки. Итальяинецъ Леонардо Фибонначи, слдуя манер восточныхъ народовъ (семитовъ) писать справа налво, помщаетъ, въ случа смшанныхъ чиселъ, справа цлое число, а лве дробь, но читаетъ написанное общепринятымъ европейскимъ порядкомъ, т.е. сперва цлое число, а потомъ уже дроби.

Своеобразную систему дробей наблюдаемъ мы у римлянъ. Народъ серьезный, практичный, дловой, они предпочитали отвлеченному мышленію наглядность, и поэтому ничего нтъ естественне въ ихъ положеніи, какъ замнить отвлеченныя доли подраздленіями употребительныхъ мръ. Они остановили свое вниманіе на мр вса— фунтъ (ассъ, въ настоящее время аптекарскій фунтъ). Ассъ длится на 12 частей—унцій. Изъ нихъ образуются вс дроби со знаменателемъ 12, т.-е.

при этомъ каждая изъ такихъ дробей выражается особеннымъ знакомъ и особеннымъ словомъ; любую дробную величину можно было выражать посредствомъ унцій, напр., вмсто того, чтобы сказать: «я прочиталъ ⁵/₁₂ книги», говорили «я прочиталъ 5 унцій книги». Такимъ образомъ, фунтъ являлся и именованной единицей, и въ то же время отвлеченной, такъ какъ его долями выражались всевозможныя дроби.

Эта римская система дробей держалась въ школахъ Западной Европы вплоть до тхъ поръ, когда принесенная чрезъ Испанію арабская — врне сказать, индуссая—ариметика стала вступать въ свои права и получила силу и перевсъ. Это относится къ XV—XVI вк. по Р. X. Въ эти вка ученіе о дробяхъ уже получаетъ настоящій обликъ, знакомый намъ теперь, и формируется приблизительно въ т же самые отдлы, которые встрчаются въ нашихъ настоящихъ учебникахъ. Но все это было еще очень мудрено, туманно и трудно для начинающихъ учиться. О происхожденіи дробей тогда не говорили или же говорили очень мало и съ пропусками. Вмсто того прямо начинали съ выговариванія дробей и съ ихъ письм. обозначенія. Вотъ цитата изъ Грамматеуса, нмецкаго автора XVI в.:

«слдуетъ замтить, что всякая дробь иметъ 2 цифры, вверху и внизу линіи. Верхняя цифра называется числителемъ, нижняя—знаменателемъ. Выговариваютъ дроби такъ: сперва называютъ верхнюю цифру, затмъ нижнюю, съ прибавленіемъ слова «части». Напр. ²/₅ — дв пятыхъ части».

 Въ русскихъ матем. рукописяхъ XVII в. мы видимъ то же самое, что въ западно-европейскихъ XVI и даже XV столтія, потому что, чтобы знанію дойти до Россіи, требовалось столтіе или боле. «Статія численая о всякихъ доляхъ указъ» начинается прямо съ письм. обозначенія дробей и съ указанія числителя и знаменателя. При выговариваніи дробей интересны такія особенности: четвертая доля называлась четью, доли же со знаменателями отъ 5 до 11 выражались словами съ окончаніемъ «ина», такъ что ¹/₇, = седмина, ¹/₅ пятина, ¹/₁₀ = десятина; доли со знаменателями, большими 10, выговаривались съ помощью слова «жеребей», напр., ⁵/₁₃—пять тринадцатыхъ жеребевъ. Нумерація дробей была прямо заимствована изъ западныхъ источниковъ, въ чемъ авторъ рукописи сейчасъ же сознается:

«буди ти вдомо, како ся пишутъ доли въ цифирномъ счет, по нмецкимъ землямъ, въ латин и во французской земли.»

Числитель назывался верхнимъ числомъ, а знаменатель исподнимъ.

У Магницкаго (славянская ариметика 1703 г.) можно найти яркій примръ того, какъ смутно вырисовывалась глава о дробяхъ въ представленіи самихъ авторовъ учебниковъ. Первый разъ упоминаетъ о дробяхъ Магницкій совершенно неожиданно, когда у него идетъ дленіе съ остаткомъ. На стр. 17 ршается примръ 130 : 3, и въ конц ршенія говорится такъ: