Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]
Шрифт:
4) Алькальцади, жившій въ XV ст., хотя и является заключительнымъ звеномъ въ блестящей цпи арабскихъ математиковъ, но все-таки не можетъ обойтись безъ того, чтобы не переписать длителя нсколько разъ даже въ легкомъ примр. 924 : 6 у него представляется въ такомъ вид:
3 2
9 2 4
6 6 6
——————
1 5 4
Частное въ самомъ низу, длитель надъ нимъ, еще выше длимое и, наконецъ, въ самой верхней строк послдовательные остатки.
5) Петценштейнеръ въ XV ст., нмецкій пегагогъ, нисколько не измняетъ основного хода дйствія и всего только вводитъ ту подробность, что
Получается довольно красивое расположеніе, съ ясной наклонностью къ симиетріи. Начиная съ этихъ поръ, математики обращаютъ вниманіе на то, чтобы груда цифръ не представляла собой чего-то безпорядочнаго и несимметричнаго, а образовывала изящную фигуру, построенную по извстной иде. Особенно любили изощряться надъ построеніемъ фигуръ итальянцы, и надо отдать имъ справедливость, что они много успли въ этой безполезной и даже вредной игр; вдь всякая погоня за ненужнымъ и постороннимъ вредитъ, въ конц концовъ, главной и существенной цли; такъ и здсь, одинъ авторъ передъ другимъ старались придумать что-нибудь оригинальное, красивое и стройное по вншнему виду, но забывали главное достоинство, т.-е. быстроту вычисленій, удобство и врность.
6) Лука-де-Бурго ухитрился представлять дленіе фигурой корабля съ трюмомъ, рулемъ, мачтами и парусами.
Дальше этого идти ужъ трудно и путь всевозможныхъ ухищреній можно считать исчерпаннымъ. Хорошо еще, что педагоги тогдашняго времени большею частію не неволили учениковъ къ тому, чтобы они непремнно умли строить эти изящныя фигуры; они обыкновенно предпочитали только хвастаться другъ передъ другомъ, кто сколько знаетъ способовъ и кто сколько изобрлъ.
Какъ видимъ изъ фигуры, частное 9876 стоитъ съ правой стороны у знака дленія (угла); лве, въ одной съ нимъ строк. располагается длимое; что же касается длителя 9876, то онъ помщенъ четыре раза: первый разъ подъ длимымъ, второй разъ онъ расчлененъ на 987 и 6, третій разъ на 98, 7, и 6, и, наконецъ, въ послдній разъ на 9, 8, 7 и 6, при чемъ 9 стоитъ въ самомъ низу, 8 во второй строк снизу, 7 въ третьей снизу, и 6 въ четвертой, подъ длимымъ, на самомъ правомъ мст. Дйствіе начинается съ того, что 97535 длится на 9876, въ частномъ получается 9; те-перь надо 9876 умножить на 9 и полученное произведеніе вычесть изъ 97535, при чемъ умноженіе начинается съ высшихъ разрядовъ, вычитаніе производится одвовременно съ нимъ. 9 x 9 = 81, 8 изъ 9 = 1, 1 пишемъ надъ 9-ю, 1 изъ 7 = 6, пишемъ 6 надъ 7-ю; дале 8 x 9 = 72, вычитаемъ 7 изъ 16-ти, получается 9, пишемъ эти 9 надъ 6-ю, а надъ единицей пишемъ 0; такъ продолжаемъ вычисленіе все дале и дале, до тхъ поръ, пока не кончимъ его.
Требуется большая, можно сказать, необыкновенная внимательность, чтобы не сбиться и не спутать въ такомъ ряд вычисленій. Положимъ, что передвиженіе длителя помогаетъ разбираться скоре и врне въ разрядахъ, но все-таки избжать ошибокъ очень трудно, а между тмъ, стоитъ только допустить ошибку, и все кончено: все надо передлывать снова, потому что выдлить врное отъ неврнаго нельзя. Если же къ этому еще вспомнить, что при дленіи легко попасть на цифру частнаго, которая слишкомъ велика или слишкомъ мала, то мы вполн себ представимъ, сколько попытокъ и при-томъ какихъ отчаянныхъ попытокъ стоило врное вычиеленіе частнаго. Современники передаютъ, что, чтобы ршить примръ на дленіе — на это требовалось сутки времени. Не даромъ Гербертъ (папа Сильвестръ II), жившій, правда, нсколько ране разсматриваемаго періода, считадъ возможнымъ преподавать ариметику только особенно одареннымъ ученикамъ. Святой Бонифацій пишетъ, что
«при одной мысли
7) Французскій математикъ Ла-Рошъ (въ ХVI ст.) понялъ, что выгодне начинать умноженіе съ низшихъ разрядовъ, потому что тогда будетъ легче вычитать; но и отъ стараго пріема онъ не ршается отказаться, поэтому даетъ и то и другое расположеніе, начиная въ первомъ случа умноженіе съ низшихъ разрядовъ, а во второмъ съ высшихъ. Пусть будетъ длимое 7985643, длитель 1789, тогда въ частномъ получается 4463.
Ла-Рошъ стремится, очевидно, къ тому, чтобы получить красивую фигуру треугольника; онъ не прочь, подобно Лукде-Бурго, пожертвовать удобствомъ вычисленій въ пользу второстепенной цли — изящества.
Бешенштейнъ и Ризе, нмецкіе педагоги XVI ст., даютъ подобные пріемы дленія.
8) Штифель и Петръ Рамусъ длаютъ попытки помочь вычисленію и предлагаютъ: Штифель—вычитать частныя произведенія сразу, посл того, какъ они уже составлены, а не по отдльнымъ разрядамъ, какъ только они получаются; Рамусъ — заготовлять заране произведенія длителя на вс однозначныя числа.
«Правда, это кропотливо,— говоритъ онъ,—но зато полезно».
9) Изложенный способъ дленія, испанскій, какъ называетъ его Пешекъ, отличается той характерной чертой, что вс промежуточныя вычисленія пишутся выше дламаго, поэтому онъ получилъ у нмецкихъ математиковъ названіе дленія «вверху» — «ueberw"arts» или «uebersich»—dividieren, въ противоположвость нашему нормальному пріему, которому придали названіе дленія «внизу», на томъ основаніи, что все вычисленіе сосредоточивается ниже длимаго.
Дленіе «вверху», какъ мы уже упоминали, являлось самой распространенной и употребительной формой вплоть до начала XIX -го вка. Къ этому времени были сознаны, наконецъ, его неудобства, и оно мало-помалу стало уступать свое мсто нормальному, практикуемому въ настоящее время, пріему. Въ русекихъ ариметикахъ ХТІІ вка находимъ такой примръ дленія: 5692597 : 3625 = 1570 1347/3625.
Въ сущности, тотъ же ромбъ, что и выше. У Магницкаго вычисленіе въ этомъ же род, при чемъ частное располагается съ правой стороны и отдляется скобкой. 9649378 : 5634.
Выпишемъ кстати изъ Магницкаго объясненіе, которое онъ проводитъ на примр 1952 : 32.
«Подобаетъ вдати, яко егда длитель иметъ не едино число, но два 32 или три 432, и тогда такожде подписуются числа длителя, подъ болшая себе, длимаго сице.
1 9 5 2
3 2
И умствуется тако: яко елико первымъ числомъ длителя, емлеши изъ верхнихъ числъ длимаго толикожде бы взяти, и другимъ числомъ длителя, изъ тхъ же числъ длимаго, якоже зд: 1
1 9 5 2 ( 6
3 2
Изъ 19 взяти на 3, по 6: по толику же бы взяти, и изъ 15, на 2: и останется изъ 15, 3, еже напиши надъ 5-ю, а прочая похрь сице (вc цифры, кром 3, 2 и 6, перечеркиваются).
Потомъ напиши первое число делителя, противъ остаточныхъ 3-хъ длимаго, а другое длителя въ рядъ къ правой рук яковъ зді
1 3
1 9 5 2 ( 6
3 2 2
3
И умствуй 3 длителя изъ 3-хъ длимаго, и будетъ 1: и сей 1, напиши подл 6 за чертою, а другимъ числомъ длителя 2-мя возьми изъ 2 длимаго 1, который уже за чертою написанъ сице: