Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

Беллюстин Всеволод Константинович

4) Вс три предыдущихъ способа уступаютъ нашему, которымъ мы, обыкновенно, пользуемся: они трудне и длинне нашего. Но вотъ методъ Тиллиха, предложенный имъ въ 1806 г. Онъ уже вытекаетъ изъ нормальнаго пріема и стремится еще боле его усовершенство-вать. Суть его состоитъ въ слдующемъ. При дленіи на однозначное число, напр., на 3, не сносятъ остатковъ къ слдующему низшему разряду, а стараются раздлить каждый разрядъ вполн, хотя бы для этого пришлось воспользоваться и дробнымъ частнымъ. Согласно этому, дйствіе 56789:3 располагается такъ:

Прежде всего длится 5 дес. тысячъ на 3, на каждую часть придется по 1 2/3 дес. тысячъ, изъ этого 1 дес. тыс. сносится въ

частное, а 2/3 дес. тыс. пока оставляются. Затмъ длимъ 6 тысячъ на 3, будетъ по 2 тысячи, ихъ такъ и пишемъ въ частномъ. Точно такимъ же образомъ 7 сот.: 3 = 2 1/3 сотни, 8 дес.: 3 — 2 2/3 дес и наконецъ 9:3 = 3. При этомъ вс цлые отвты сносятся въ частное, а дроби пока оставляются. Дроби эти приводятся къ нормальному виду слдующимъ путемъ. 2/3 десятка тысячъ дадутъ 6 тысячъ и 2/3 тысячи; эти 2/3 тысячи составятъ 6 2/3 сотни, да у насъ еще 1/3 сотни, всего получится 7 сотенъ, ихъ такъ и пишемъ. Останется только церевести 2/3 десятка въ единицы, будетъ 6 2/3 . Окончательный отвтъ составитъ 18929 2/3 .

Въ иныхъ примрахъ можно разбивать длимое на группы въ 2 разряда, и это представляетъ немалое удобство. Такъ, 1/4 отъ 339765 Тиллихъ совтуетъ находить дленіемъ 33 дес. тысячъ на 4, 97 сотенъ на 4 и 65-ти единицъ на 4. Тогда форма вычисленія получится слдующая:

Поврка дйствій.

Въ чемъ состоитъ поврка дйствій, и чмъ она вызывается? Поврить дйствіе значитъ произвести такое дополнительное вычисленіе, которое вселило бы нкоторую увренность, что данный намъ нримръ ршенъ правильно. Въ наши времена поврка примняется не очень часто, и даже начинающіе школьники на столько бываютъ уврены въ своихъ силахъ и въ своемъ умньи вычислять, что избгаютъ поврки.

Это съ одной стороны вредно, такъ какъ дти пріучаются съ малыхъ лтъ искать опоры не тамъ, гд надо бы, т.-е. не въ своемъ искусств и умньи. а на сторон: они надодаютъ учителю вопросами «такъ ли?» и постоянно засматриваютъ въ задачники: сходится ли съ отвтомъ?

Этимъ наша школа разслабляетъ дтей, вмсто того, чтобы помогать имъ становиться на ноги.

Старинная школа была счастливе въ выработк характера и самимъ родомъ своихъ занятій закаляла его. Да и какъ было не закалять, когда, напр., въ средніе вка та самая работа требовала отъ дтей усиленныхъ трудовъ, которая теперь едва-едва оставляетъ въ нихъ впечатлніе. Въ средневковой школ какое-нибудь дленіе многозначныхъ чиселъ требовало массы времени, настойчивости, терпнія и т. п. Понятно, что затративши много труда и положивши не мало силъ, счетчику интересно было убдиться, хорошо ли онъ исполнилъ работу, и годится ли результатъ. Этимъ и вызывалась потребность поврки. Еще индусы, творцы ариметики, любили поль-зоваться повркой; впрочемъ, у нихъ была на то своя особенная, спеціальная причина, именно они, какъ ужъ упоминалось не разъ выше, вели вс вычисленія на песк и стирали вс лишнія цифры по мр того, какъ подходили къ концу, такъ что въ самомъ конц у нихъ оставались только данныя числа и отвтъ; вслдствіе этого имъ нельзя было просмотрть дйствіе еще разъ и убдиться, на-сколько врно оно сдлано, поэтому имъ приходилось изобртать особенные способы поврки, которыхъ они и предложили нсколько. Самымъ уиотребительнымъ способомъ, не только у индусовъ, но и вообще во всей школ до ХVIII-го вка была поврка числомъ 9. Она основана на слдующемъ. Если мы возьмемъ 2 слагаемыхъ, напр., 370 и 581, и раздлимъ каждое изъ нихъ на 9, затмъ сложимъ остатки отъ дленія, то эта сумма остатковъ будетъ такою же, какъ если бы мы прямо раздлили на 9 сумму данныхъ чиселъ.

Дйствительно, остатокъ отъ 370:9 будетъ 1, отъ 581 остатокъ будетъ 5 и отъ суммы данныхъ чиселъ, т.-е. отъ 951, остатокъ будетъ тоже 5+1 = 6 (иногда, впрочемъ, изъ суммы остатковъ приходится выкидывать одну или нсколько девятокъ, напр., если бы слагаемыми были 375 и 581, то сумма остатковъ составила бы 11. а остатокъ суммы равнялся бы 2, т.-е. 11—9). Эти числа 1, 5, 6 носятъ названіе поврочныхъ чиселъ, слд. 1 будетъ поврочнымъ числомъ для 370-ти, 5 для 581 и 6 для 951. Огсюда ясно вытекаетъ правило: поврочное число суммы равно сумм поврочныхт чиселъ всхъ слагаемыхъ. Точно также при вычитаніи: поврочное число разности соотвтствуетъ разности поврочныхъ чиселъ уменынаемаго и вычитаемаго; или иначе: повр. число уменьшаемаго равно сумм поврочныхъ чиселъ вычитаемаго и разности. При умноженіи правило такое: повр. число произведенія соотвтствуетъ произведенію

повр. чиселъ множителей; и, наконецъ, при дленіи новр. число длимаго со-отвтствуетъ произведенію поврочныхъ чиселъ длителя и частнаго.

За исключеніемъ сложенія, при каждомъ дйствіи имется 4 по-врочныхъ числа, и они, обыкновенно, располагались такъ, что получалась фигура косого креста. Примръ: 525 раздлить на 15, получится въ частномъ 35. Тогда поврка представляется слдующимъ крестомъ:

 \ 3 /

6 \ / 8

/ \

/ 3 \

Нкоторые математики, приверженцы совершенной точности и полной безошибочности, находили, что поврка числомъ 9 далеко не безупречна и можетъ повести къ ошибкамъ. Зависть он могутъ отъ такихъ причинъ. Во-первыхъ, различныя по величин числа, но только отличающіяся другъ отъ друга на цлое число девятокъ, имютъ поврочныя числа одинаковыя; напр., числа 172 и 1081. Во-вторыхъ, этой повркой нельзя открыть пропуска нулей или же излишка нулей: числа 105, 1050, 15 даютъ одинаковыя поврочныя числа. Въ третьихъ, перестановка цифръ точно также не можетъ быть открыта этой повркой, такъ какъ, напр., числа 78932 и 87932 даютъ одинаковыя поврочныя числа. Итакъ, поврка числомъ 9 ненадежна. Поэтому, лучшіе авторы XVI—XVII в. рекомендуютъ еще поврку числомъ 7. Она основана на томъ же, на чемъ и предыдущая, и слд. при ней изъ данныхъ и иекомыхъ чиселъ выкидываютъ возможное число семерокъ, а съ остатками поступаютъ точно такимъ же образомъ, какъ и при поврк числомъ 9. Въ этомъ случа ужъ можно обнаружить и перестановку цифръ, и пропускъ нулей.

Казалось бы, что вполн достаточно поврки числомъ 9 и числомъ 7 для того, чтобы можно было успокоиться и убдиться, что отвтъ вренъ. Но нтъ, Рудольфъ и Апіанъ (въ XVI ст.) объясняютъ, что поврять можно такимъ же путемъ, какъ и выше, еще съ помощью чиеелъ 8, 4, 6.

Фишеръ (въ 1559 г.) провряетъ свои вычисленія числами 5, 6, 7, 8, 9, 11.

Но такое большое количество искусственныхъ поврокъ приводило многихъ авторовъ прямо къ отрицанію ихъ необходимости и пользы. Петръ Рамусъ, извстный французскій ученый и математикъ (ум. 1572 г.), говоритъ, что вс эти ухищренія излишни и ненужны, и что если кому требуется поврить дйствіе, то пусть онъ передлаетъ его снова и больше ничего; такъ будетъ лучше и въ томъ отношеніи, что, передлывая снова, мы можемъ не только открыть присутствіе ошибки, но и исправить ее.

Лука де-Бурго смотритъ на дло хладнокровне. Онъ не отрицаетъ совершенно проврки, но только совтуетъ длать ее, по возможности, проще. Именно онъ указываетъ для этого 2 способа. Во-первыхъ, можно то же дйствіе произвести еще разъ и только измнить его порядокъ, напр., при сложеніи нсколькихъ чиселъ, если мы сперва складывали сверху внизъ, то потомъ надо пересложить снизу вверхъ. Во-вторыхъ, всякое дйствіе повряется своимъ обратнымъ: вычитаніе сложеніемъ, дленіе умноженіемъ и т. п.

Происхожденіе мръ.

Вс предыдущія объясненія, которыя изложены до настоящей главы, касались счета и вычисленій, т.-е. тхъ умственныхъ отправленій человка, которыя составляютъ наиболе характерную и общую черту его природы.

Дйствительно, потребность считать привадлежитъ всмъ людямъ и составляетъ необходимую часть ихъ мышленія. Поэтому естественно, что и проявленіе этой всеобщей потребности и присущей всмъ способности тоже носитъ въ себ много общаго и неизмннаго у всхъ народовъ и во вс времена. Въ счет и вычисленіи нтъ мста произволу и очень мало мста для свободнаго выбора: все совершается по общему закону, предустановленному психической организацею человка. Не то мы видимъ въ измреніи и оеобенно въ выбор мръ. Вотъ ужъ именно «что городъ, то норовъ, что деревня, то обычай!» Каждое маленькое государство, каждый хоть немножко самостоятельный народъ, каждый городъ, каждый уголокъ стремится измрять своими мрами, да и т еще успваетъ перемнить нсколько разъ съ теченіемъ времени. Прослдимъ вкратц эту измнчивость мръ и постараемся извлечь изъ нея т немногія руководящія основанія, которымъ подчиняется выборъ мръ, а для этого возьмемъ отъ каждаго народа то, что боле всего примчательно.

Древній міръ признавалъ египтянъ творцами системы мръ. Еще въ доисторическія времена египтяне принимали 365 дней въ году; имъ же принадлежитъ введеніе високоснаго года въ 366 дней черезъ каждые 3 простыхъ, при чемъ установленіе это приписывается царю Канопу и относится къ 238 г. до Р. X. Оть египтянъ этотъ порядокъ былъ заимствованъ Юліемъ Цезаремъ и введенъ имъ во всемъ римскомъ государств, онъ же держится и у насъ теперь подъ именемъ юліанскаго лтосчисленія. Счетъ по недлямъ и по мсяцамъ точно также былъ извстенъ египтянамъ.