Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]
Шрифт:
Теперь поведемъ рчь объ опредленіяхъ дйствій. Что показываетъ опредленіе? Оно указываетъ смыслъ дйствія и его сущность. Такъ, напр., опредленіемъ умноженія цлыхъ чиселъ служитъ слдующее: «умноженіемъ называется такое ариметическое дйствіе, въ которомъ составляется сумма столькихъ слагаемыхъ, равныхъ первому даному числу, сколько единицъ заключается во второмъ данномъ числ». Надо сказать, что опредленія въ первоначальной арабской ариметик были короткими и понятными и употреблялись только тогда, когда въ нихъ дйствительно являлась надобность, т.-е. когда дйствіе безъ опредленія представлялось неяснымъ и смшивалось съ другимъ. Но, въ противоположность этому, средневковая школьная ученость (такъ назыв. схоластика) начала придавать словеснымъ опредленіямъ слишкомъ большое значеніе, начала требовать опредленій даже и въ тхъ случаяхъ, когда и безъ нихъ понятія ясны, просты и
«Для нмца недостаточно понимать вещь: но ему непремнно нужно опредлить ее и дать ей мсто въ системахъ своихъ знаній. Опредленіями пустйшихъ и ничтожнйшихъ предметовъ набиты кипы нмецкихъ учебниковъ. Безъ опредленія для нмца и вещь не вещь».
Приведемъ нсколько примровъ, которые доказываютъ, какъ иногда трудны и безполезны бываютъ опредленія. Въ русской ариметик Румовскаго (1760 г.) относительно дленія сказано такъ:
«Дленіе есть способъ изъ данныхъ двухъ чиселъ D и M находить третіе E, въ которомъ бы столько разъ содержалась единица, сколько разъ одно изъ данныхъ двухъ чиселъ D въ другомъ данномъ M содержится».
Какъ это мудрено и непонятно, хотя съ научной точки зрнія и правильно! Можно думать, что авторъ нарочно, съ цлью такъ затемнилъ смыслъ яснаго дйствія дленія; вдь пятилтніе ребята, если имъ дать яблоко и велть раздлить поровну, напр., пополамъ, поймутъ, чего отъ нихъ хотятъ, и съ удовольствіемъ ршатъ задачу, но авторъ этой ариметики, должно-быть, думаетъ, что трудный слогъ содйствуетъ научности; напрасно: научность состоитъ въ глубокихъ мысляхъ, а не въ туманныхъ фразахъ. Вотъ еще опредленія Грамматеуса (XVI в.):
«Сложеніе, или суммированіе, показываетъ сумму нсколькихъ чиселъ. Умноженіе, или увеличеніе, описываетъ, какъ умножать одно число на другос или увеличивать. Вычитаніе, или отниманіе, открываетъ, какъ число вычитать, или какъ одно число отнимать отъ другого, чтобы видть остатокъ».
Здсь только одна замна словъ и нтъ никакой помощи для смысла.
Сложеніе цлыхъ отвлеченныхъ чиселъ
Это дйствіе безспорно и безъ всякаго сомннія занимаетъ первенствующее мсто въ ряду четырехъ дйствій, потому что безъ сложенія не обойтись нигд. «Что есть аддиціо или сложеніе?» спрашиваетъ славянскій учебникъ ариметики и отвчаетъ: «Аддиціо, или сложеніе, есть дву или многихъ числъ во едино собраніе, или во единъ перечень совокупленіе». И продолжаетъ сейчасъ же за этимъ: «Удобнйшаго же ради, и скораго сложенія, подобаетъ прежде предложенную таблицу имти въ разум твердо, да всякихъ числъ сложеніе творити имаши скоро и извстно, безъ всякаго забвеніа и лжи». Табличку надо было выучить непремнно наизусть и помнить ее твердо, твердо, иначе все ариметическое зданіе могло бы рушиться, потому что въ старинныя времена оно гораздо больше основывалось на чистомъ запоминаніи, чмъ на сужденіи и вывод. Учителя крпко убждаютъ помнить табличку, и вотъ даже стихи въ одной изъ ариметикъ:
«Къ двумъ единъ то есть три,Два же къ тремъ пять смотри,Такъ и все назирай Таблицу разбирай.Хотяй же не лгатиПохвально слагати,Да тщится познати,Изустно сказати».Въ нашихъ ныншнихъ учебникахъ ариметики таблица сложенія начинается съ 1+1 и кончается 9+9. Но прежде было иначе. Напр., въ ариметик Леонардо Фибонначи (1200 г.), первомъ европейскомъ учебник, составленномъ по арабскому образцу, рекомендуется заучить не только таблицу единицъ, но и цлую таблицу десятковъ отъ 10+10 до 90+90. Здсь, конечно, видна непослдовательность: если учить десятки, то отчего же не учить сотни, тысячи и вс остальные разряды. Въ противоположность такой большой таблиц, русскіе учебники XVII в.
Сложеніе большихъ чиселъ, особенно же многозначныхъ чиселъ издавна производилось гораздо чаще на счетныхъ приборахъ, чмъ письменно. Разныя наглядныя пособія для счета и придумывались, главнымъ образомъ, для того, чтобы помочь сложенію. У китайцевъ— сванъ-панъ, у грековъ и римлянъ—абакъ, у насъ, русскихъ, торговые счеты, да, кром того, еще нсколько видоизмненій этихъ приборовъ—все это служило цлямъ отысканія суммы. И надо сказать, что привычка складывать на приборахъ очень укоренилась въ простомъ народ во всхъ почти странахъ и при томъ настолько сильно, что, напримръ, римскій абакъ употреблялся для сложенія въ Западной Европ столтія 3–4 спустя посл введенія индусской системы.
Способомъ, переходнымъ отъ абака къ нашему настоящему, является такой. Положимъ, даны намъ два числа: 666 и 144; подписавши 144 подъ 666 и опредливъ сумму единицъ 10, мы стираемъ 6 у верхняго слагаемаго и пишемъ вмсто него 0, а такъ какъ сумма единицъ дала десятокъ, то и цифру десятковъ 6 стираемъ и пишемъ 7, теперь слагаемыя измнились: 670 и 144; десятковъ въ сумм получитея 11, слдовательно стираемъ 7 и замняемъ черезъ 1 и также вмсто 6-ти сотенъ пишемъ 7; теперь намъ остается тодь-ко сложить 7 сотенъ съ 1, будетъ 8; эта цифра пишется вмсто 7 сотенъ, и весь отвтъ получается на мст перваго слагаемаго въ вид 810. Пять разъ намъ приходилось стирать, прежде чмъ добраться до врнаго отвта. Несомннно, такимъ путемъ трудно дйствовать на бумаг, но онъ былъ умстенъ на абак, покрытомъ пескомъ; еще можно попытаться на грифельной доск, но эти по-стояннныя стиранія надодаютъ; почему же они примнялись и на бумаг? вдь отъ нихъ нтъ никакой выгоды и одно только неудобство? А потому, что прежняя метода обученія стремилась обратить человка въ машину, не полагалась на его личную сообразительность и предписывала все отмчать на абак, но никакъ не удерживать въ ум. Мы теперь запоминаемъ десятки или сотни, получившіяся отъ единицъ или десятковъ, а тогда вс мелочи необходимо было писать, чтобы не утерять.
Механическій характеръ цифрового сложенія, безъ всякаго пособія устнаго счета, ясно проглядываетъ у большинства средневковыхъ писателей. Магометъ Бега-эддинъ (XVI в.) подписываетъ слагае-мыя правильно одно подъ другимъ и складываетъ единицы опять же правильно, но когда изъ нихъ образуется десятокъ, то онъ не знаетъ, что съ нимъ длать, и пока до поры до времени записываетъ его надъ десятками; дале ведетъ сложеніе десятковъ и, только получивъ ихъ сумму, онъ вспоминаетъ про десятокъ, образовавшійся изъ единицъ и тутъ его прикладываетъ. Сложеніе другихъ разрядовъ идетъ подобнымъ образомъ. Примръ:
1 1 1 1
5 3 7 3 9
2 8 2 6 5
—————————
7 1 9 9 4
8 2 0 0
Вотъ каково недовріе къ соображенію учениковъ и какая подробная механичность.
Въ этомъ род, иногда съ небольшими улучшеніями, составленъ рядъ учебниковъ по ариметик въ XVI–XVIII вв. Въ нихъ даются пространныя правила, какъ надо располагать слагаемыя и какъ замчать цифры. Эти правила нисколько не объясняются, и вычисляющій долженъ работать съ ними, какъ машина. Напр., Грамматеусъ, составитель нмецкаго учебника XVI в., даетъ три такихъ правила: 1-е: Смотри тщательно, чтобы цифры стояли какъ разъ одна надъ другой, такъ, чтобы 1-ая стояла надъ 1-ой, 2-ая надъ 2-ой и т. д.; проведи подъ этимъ линію, подъ которой и надо писать сумму. 2-е правило: Начинай съ правой руки, сложи вс числа, которыя стоятъ на первомъ мст; если получится отъ сложенія дв цифры, то первую напиши, а вторую удержи въ ум, съ тмъ, чтобы прибавить ее къ слдующей; такъ же поступай и со всми остальными. 3-е правило: Въ конц ничего не надо держать въ ум, но все надо писать. Все время употребляй слово «и» или «да», напримръ, три да четыре—семь.
Въ настоящее время способъ сложенія тотъ же, что и въ старину. Правда, мы всегда начинаемъ дйствіе съ правой руки, когда вычисляемъ письменно, въ старину же длали и съ лвой. Кром того, наши ученики нердко относятоя совершенно сознательно къ дйствію и понимаютъ, что и для чего длается. Но въ общемъ характеръ сложенія не измнился сь самыхъ тхъ поръ, какъ установилась индусская система съ ея нулемъ и значеніемъ цифръ по мсту, ими занимаемому.
Нкоторыя особенности можно отмтить только въ слдующихъ трехъ пріемахъ, которые принадлежатъ индусамъ, арабамъ и грекамъ.