Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

Беллюстин Всеволод Константинович

Христіанская средневковая Европа тоже не лишена была стремленій къ таинственному символическому толкованію чиселъ. Епископъ майнцкій Рабанъ Мавръ въ IX в. ршалъ вопросъ, почему Моисей и Илія постились ровно 40 дней?

«А потому, — отвчаетъ Рабанъ, — что 40 состоитъ изъ 4 десятковъ и этимъ знаменуетъ временную жизнь, ибо 4 выражаетъ время, а въ 10-ти можно распознать Бога и Его творенія».

Алькуинъ, другъ императора Карла Великаго, заинтересовался численной задачей: почему Св. Апостолъ Петръ поймалъ 153 рыбы? не больше и не меньше, а ровно 153? Алькуину казалось, что онъ нашелъ ршеніе: 153=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17, т.-е. число 153 равно сумм первыхъ 17-ти чиселъ. Но почему же именно 17-ти? На это

Алькуинъ ничего не отвчаетъ.

Сколько труда и энергіи тратилось обыкновенно на эти изысканія и на эти изслдованія глубины числовыхъ отношеній! Правда, можно согласиться, что эти труды не пропали безъ всякой пользы и содйствовали теоріи ариметики и такъ называемой теоріи чиселъ, они заставили вникнуть въ разложеніе чиселъ на множителей и на слагаемыя и привели къ числовымъ рядамъ, которые теперь у насъ зовутся прогрессіями. Такъ древне происхожденіе прогрессій! У насъ он отодвинуты на конецъ алгебры, а у древнихъ математиковъ имъ отводилось почетное мсто въ элементарной ариметик.

Дленіе чиселъ на четныя и нечетныя извстно было еще въ древнемъ Египт; оно же было вполн извстно и Пиагору, потому что уже въ его времена была въ ходу игра «въ четъ и нечетъ». Кром того, пиагорейцы раздлили числа на первоначальныя и составныя; первоначальными они называли, подобно намъ, такія числа, которыя не разлагаются на другихъ длителей, а составными т, которыя можно представить въ вид произведенія 2 множителей; и такъ какъ греки, любители и поклонники геометріи, смотрли и на ариметику со стороны геометрическихъ свойствъ, то они еще придумали называть первоначальныя числа линейными, а составныя плоскостными; дйствительно, всякое составное число, напр. 10, разлагается на 2 производителя, въ данномъ случа на 2 и на 5, и потому можетъ обозначать собой площадь, хоть напрмръ, прямоугольника, у котораго стороны 2 и 5; первоначальныя же числа могутъ выражать собой только длину линіи, если, конечно, не вводить дробей.

Еще пиагорейцы выдлили треугольныя числа и квадратныя: треугольное число то, которое представляетъ собою половину произведенія 2 сосднихъ чиселъ, напр., 6 будетъ треугольнымъ числомъ, потому что его можно образовать умноженіемъ 3 на 4 и дленіемъ на 2; вотъ примры треугольныхъ чиселъ: 10=^4·5/₂, 15=^5·6/₂, 21=^6·7/₂, 28=^7·8/₂, 36=^8·9/₂ и т. д.

Ясно, почему они заслужили такое названіе: они могутъ выражать собой площадь треугольника. Что значитъ квадратное число, легко догадаться: то число, которое составлено изъ 2-хъ равныхъ множителей; квадратныя числа слдующія: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т. д.

Кром того, у грековъ были «совершенныя числа». Подъ этимъ именемъ разумлись такія, которыя равны сумм всхъ своихъ длителей, считая единицу; самый легкій примръ совершеннаго числа —28, потому что 28=1+2+4+7+14; другимъ примромъ можетъ служить число 496; если сложить всхъ его множителей, считая и единицу, то въ сумм получимъ опять 496; множители слдующіе: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248.

Отъ совершенныхъ чиселъ греки перешли къ такъ наз. содружественнымъ. Два числа называются содружественными тогда, когда каждое изъ нихъ равно сумм длителей другого; лучшимъ примромъ такихъ чиселъ могутъ служить 220 и 284, у перваго изъ нихъ длители 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 даютъ вмст 284, а у второго длители 1, 2, 4, 71, 142 даютъ въ сумм число 220. Въ теоріи содружественныхъ чиселъ не обошлось безъ курьеза, опять проявилась та же наклонность къ таинственному и волшебному. Нкій Мадштрити, умершій въ Мадрид въ 1007 году по Р. X., въ своемъ сочиненіи «О цляхъ существующаго» пытается уврить, что содружественныя числа могутъ сыграть роль талисмана или приворотнаго зелья; а способъ для этого очень простой: надо написать на 2 бумажкахъ, на одной число 220, на

другой—284, сжечь ихъ и пепелъ выпить съ водой, большее число самому, а меньшее тому, кого желательно къ себ расположить. Другой авторитетный человкъ, нкто Ибн-халдунъ, подтверждаетъ, что дйствительно эти числа имютъ значеніе талисмановъ, и что многіе на дл это испытали и уврились; и онъ самъ, Ибн-халдунъ, на своемъ опыт въ этомъ же уврился.

Все, изложенное выше, принадлежитъ, главпымъ образомъ, грекамъ, потому что вс эти подраздленія и вс формулы разрабатывались въ школ Пиагора и уже отъ позднйшихъ его учениковъ перешли къ арабамъ. Римляне не заносились такъ далеко въ своей фантазіи и предпочитали быть поближе къ практик и наглядности; вычисляли они, какъ выше уже сказано, все больше по пальцамъ и даже ухитрялись замчать на пальцахъ довольно большія числа; при этомъ единицы отмчались пальцами, а десятки до сотни—суставами пальцевъ, именно:

1—мизинецъ согнутъ, 2—четвертый и пятый пальцы согнуты, 3—третій палецъ согнутъ и т. д.;

10—верхній суставъ указательнаго пальца прижатъ къ нижнему суставу большого пальца,

20—указателышй палецъ протянутъ; большой палецъ приближается къ нижнему суставу указательнаго,

30—верхніе суставы большого и указательнаго пальца сближены

и т. д.

Подобная наклонность считать все по пальцамъ отразилась и на раздленіи чиселъ. Простыя единицы до 10-ти назывались у римлянъ пальцевыми (digiti), круглые десятки до сотни назывались суставными (articuli), и, наконецъ, вс остальныя числа носили названіе сложныхъ или сочиненныхъ (compositi).

Когда свтъ христіанства распространился изъ Рима на всю Западную Европу, то вмcт съ этимъ разлилась волна и римской образованности. Скудна была римская арииетика, но, за неимніемъ лучшей, она царила безраздльно во всей Европ до XIII–XIV вка, со своимъ абакомъ, римскими цифрами и пальцевымъ счетомъ. Скудна и бдна была теоретическая часть ариметики, но она цнилась тмъ выше, чмъ была бдне. Вслдствіе этого и раздленіе чиселъ на пальцевыя, суставныя и сочиненныя бережно хранилось, какъ что-то священное и чрезвычайно важное, и передавалось отъ одного ученаго къ другому даже тогда, когда Европа ознакомилась съ арабской ариметикой, и дошло почти до нашихъ дней, по крайней мр, проявляло признаки жизни въ XVIII вк, когда пропалъ и абакъ, в пальцевый счетъ. Римскія цифры оказались еще боле живучими, такъ что помщаются въ нашихъ ариметикахъ и проходятся въ школахъ по сегодняшній день. Въ послдній разъ мы видимъ пальцевыя, суставныя и сочиненныя числа въ славянской ариметик Магницкаго (1703 г.). Въ ней говорится:

«Персты: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Сія изображенія отъ многихъ называютея персты, а толико ихъ числомъ, елико и перстовъ есть по разумнію нкоторыхъ. Составы: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200. Сія числа имянуются составы, зане цифрою 0 всегда въ десятеро составляютъ. Сочиненіе: 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27. Сія числа сочиненія называются, понеже они изъ перстовъ и составовъ сочиняются».

Какъ видимъ, въ этихъ объясненіяхъ недостаетъ убдительности, да и примры-то взяты непослдовательно и односторонне. Впрочемъ, авторъ добавляетъ еще объясненіе, которое, пожалуй, не столько уясняетъ, сколько запутываетъ:

«Умствовати же вышеобъявленная перстовая, составная и сочиненная числа, въ сотни, въ тысящы и вящще, сочиненіе отъ правыя руки къ лвой изчисляя впредь въ десятеро»

Выговариваніе цифръ и чиселъ

Прежде всего, что значитъ слово «цифра»? Могу поспорить съ вами, читатель, что, не особенно задумываясь, вы быстро ршите этотъ вопросъ и скажете: слово «цифра» значитъ знакъ (а можетъ-быть, вы скажете—знакъ числа). Но это совершенно неврно. Слово «цифра» иметъ совсмъ другое значеніе и притомъ довольно нео-жиданное: по-русски это будетъ «ничто». Какъ-же такъ „ничто“? вдь это нуль, а кром нуля есть еще и значащія цифры, къ которымъ ужъ совсмъ нельзя примнить смысла «ничто»?