Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]
Шрифт:
Начальныя числительныя имена
Рука объ руку съ развитіемъ счисленія идетъ и образованіе числительныхъ именъ. Числа — это идеи; они требуютъ словеснаго выраженія.
Филологи, знатоки языковъ, не мало и съ большимъ успхомъ потрудились надъ вопросомъ: какъ образовались слова, выражающія числа: «одинъ», «два» и т. д.? Они признали, что, вроятно, первыя числителышя имена взяты отъ тхъ вещей, которыя встрчаются всёгда въ опредленномъ количеств, и именно въ такомъ, каково cамо число. Такъ, у индусовъ слово «два» созвучно со словомъ «глазъ»; у малаqцевъ (на остров Яв) слово пять обозначаетъ въ тоже время руку. И это понятно: глаза обыкновенно встрчаются въ количеств двухъ, а пальцы въ количеств пяти. И у насъ въ славянскомъ язык «пять» созвучно съ «пядь»: подъ пядью разумется длина, которая равна разстоянію между растопыренными крайними палъцами руки.
Но само собой разумется, что отъ сходства словъ можетъ произойти смшеніе и сбивчивость понятій. Поэтому у образованныхъ націй давно, съ незапамятныхъ временъ, выработались особенныя числительныя имена, которыя не сходны съ именами какихъ бы то ни было предметовъ. Что это случилось очень давно, мы можемъ видть на примр
Вотъ таблица, въ которой представлены латинскими буквами числительныя имена изъ 5 иностранныхъ языковъ и изъ 6-го нашего русскаго цыфрами. [1]
Различныя системы счисленія
Почти вс цивилизованные народы древняго и новаго міра ввели у себя десятичную систему счета. Именно они считаютъ единицами до десяти, десятками — до сотни, сотнями — до тысячи и т. д. Иначе сказать: десять единицъ составляютъ десятокъ, десять десятковъ — сотню, десять сотенъ тысячу и т. д. Откуда же произошло такое удивительное согласіе всхъ людей? Почему у всхъ одна система счета? Немыслимо вдь допустить, что обитатели различныхъ точекъ земного шара устроили нчто въ род совщанія, на которомъ и поставовили принять одну общую систему. Разгадка, очевидно, заключается въ слдующсмъ. Отвлеченный счетъ начался у всхъ народовъ съ предметнаго, нагляднаго, а лучшимъ пособіемъ для счета, какъ наиболе доступнымъ и удобнымъ, являются для человка его пальцы. Что ближе пальцевъ, проще и дешевле? Смютоя надъ неграмотными, надъ малыми дтьми и надъ старухами, когда они безъ пальцевъ не могутъ счесть и малыхъ чиселъ: это напрасно, потому что потребность въ наглядномъ представленіи идей при помощи предметовъ присуща человчегкой природ, и всякій человкъ, который мало развитъ, ищетъ нагляднаго пособія, стремится выбрать наиболе удобное и невольно наталкивается въ нашемъ случа на пальцы.
1
автор почему-то обозначает греческие обозначения чисел латинскими буквами, а не греческими, как было бы логичнее — Прим. «авт. док.»
Впрочемъ, прибгая къ пальцамъ, мы могли бы выработать не только десятичную систему, но и пятеричную, двадцатеричную. Если пользоваться одной рукой, то будетъ пятеричная система, двумя — десятичная, руками и ногами — двадцатеричная. Въ такомъ случа мы стали бы считать пятками, 5 пятковъ соединять въ новую группу, 5 такихъ группъ въ еще болыиую новую и т. д. Это мы и видимъ у нкоторыхъ африканскихъ народовъ, которые любятъ считать пятками и вмсто «шесть» говорятъ «пять одинъ», вмсто «семь» — «пять два» и т. д. По примру многихъ народовъ, — напр., феллаховъ, индйцевъ, можно судить, что пятеричная система является очень древней и, можетъ-быть, даже боле древней, чмъ десятичная, такъ что отсюда можно предположить, что люди считали нкогда пятками и ужъ поздне перешли къ счету десятками.
Что касается двадцатеричной системы, то во всей чистот она, правда, не встрчается, но въ смшеніи съ десятичной ее можно прослдить во многихъ случаяхъ. Такъ, индйцы Майя въ Юкатан пользуются особыми словами для чиселъ 20, 400 (20 разъ по 20), 8000 (20 разъ по 400) и 160000 (20 разъ по 8000). У ацтековъ въ Мексик были особыя слова для чиселъ 20, 400, 8000. Остатки двадцатеричной системы замтны и во французскомъ язык: quattre
vingt = 80, т. е. четырежды 20; sixvingt, quinze vingt. Также и въ датскомъ язык слово шестьдеcятъ (tresindistive) выражаетъ трижды двадцать, а слово восемьдесятъ (firsditive) — четырежды двадцать.
Пальцевыя системы — самыя старинныя и древнія, и самыя распространенныя. Но, кром нихъ, есть и другія, йзъ которыхъ прежде всего мы назовемъ счетъ дюжинами, или двнадцатеричную систему. Это очень распространенный счетъ. Мы тоже нердко считаемъ дюжинами, напр., посуду, перья, карандаши, блье. Откуда взялось такое обыкновеніе? На это прямо отвтить нельзя, потому что мы не знаемъ; знаемъ только, что оно въ особенномъ ходу было у римлянъ и у нихъ иметъ корень, повидимому, въ томъ, что въ году 12 мсяцевъ. При счет дюжинами мы идемъ до 12 дюжинъ, такъ что 12 дюжинъ составляютъ новую единицу «гроссъ»; въ каждой коробк перьевъ, обыкновенно, бываетъ ровно «гроссъ»; также и карандаши связываются въ большія пачки по гроссамъ; счетъ гроссами идетъ до 12-ти, а 12 гроссовъ даютъ уже новую единицу — «массу». Счетъ дюжинами, гроссами и массами очень удобенъ и даже могъ бы быть удобне счета десятками и сотнями, но онъ привился слабо, и вс наши числительныя имена примнены къ десятичному счету, а не къ дюжинному; языкъ, конечно, передлать нельзя, и это очень жаль, потому что при дюжинномъ счет много облегчилось бы вычисленіе, сравнительно съ десятичнымъ; напр., самое трудное изъ четырехъ дйствій, дленіе, не такъ бы часто приводило къ остаткамъ и къ дробямъ, какъ сейчасъ, потому что 12 длится на 2, на 3, 4, 6, между тмъ 10 разлагается только на 2 и на 5; и поэтому при дленіи приходитея очень часто получать остатки и дроби. Особенно любили римляне число 12 въ дробяхъ. Двнадцатыя доли назывались у нихъ унціями. Это были двнадцатыя части какой угодно величины, такъ, напр., 1/12 хлба называлась унціей хлба, 5/12 капитала составляли 5 унцій капитала. Въ настоящее время унціи остались только въ «латинской кухн», т. е. въ аптекарскомъ вс, именно, унція составляетъ 1/12 аптекарскаго, иначе сказать, римскаго фунта (римскій фунтъ на 1/8 меньше нашего); въ древности эти доли были въ повсемстномъ употребленіи до того, что, напр., вмсто 1/8 писали 11/2 унціи, для 1/12, 2/12, 3/12 до 11/12 [писа]лись особые значки, въ род цифръ, и особыя названія; вообще двнадцатыя доли напоминали собою скоре именованныя числа, чмъ дйствителышя дроби.
Мы разсмотрли счетъ дюжинами. Теперь займемся счетомъ группами по 60; такъ считали халдеи. Халдеи были волхвами, звздочетами и астрономами древности; имъ мы обязаны тмъ, что въ час 60 минутъ и въ минут 60 секундъ, также и въ угловомъ градус 60 минутъ; у нихъ, между прочимъ, и день длился на 60 часовъ. Число выше 60 халдеи разлагали на 60 и на остатокъ; напр., чтобы выразить 87, они говорили 60 и 27. Число 60 имло у халдеевъ свое особое названіе «soss», также и 3600, равное 60x60, спеціально называлось словомъ «sar». Работы халдеевъ въ астрономіи были выдающимися въ древнемъ мір. Неудивительно поэтому, что ихъ вліяніе чувствуется и въ позднйшей наук; отсюда про-истекаетъ то предпочтеніе, которое дается числу 60 въ астрономіи. Халдеи считали въ году 360 дней, т.-е. 60x6, и окружность длили на 360 равныхъ частей или градусовъ; слдовательно, градусомъ экватора они считали путь, который пробгаетъ солнце въ одн сутки.
Вотъ мы поименовали cамыя употребительныя системы счета; изъ нихъ самая распространенная и развитая — десятичная: счетъ десятками можно прослдить у всхъ народовъ, не исключая даже и тхъ, которые предпочитали пользоваться пятками и дюжинами или же группами по 20 и по 60.
Изъ другихъ системъ, не приведенныхъ нами, мы можемъ указать лишь слабые намеки; такъ, напр., новозеландцы считаютъ группами въ 11, и у нихъ есть особыя коренныя слова для 11, 121 (=11x11), 1331 (=11x11x11); на ихъ язык 12 замняется одиннадиатью однимъ, 13 — одиннадцатью двумя, 22 — дважды одиннадцать, 33 трижды 11 и т. д.
Вспомнимъ, кстати, что наши предки тоже считали иногда при помощи особыхъ своеобразныхъ единицъ — сороковъ: сорокъ сороковъ церквей, пять сороковъ соболей, слдовательно, у нихъ единицей счета служила группа въ сорокъ.
Итакъ, у всхъ народовъ идетъ счетъ десятками, сотнями, тысячами и т. д. Какъ же изъ этихъ группъ или изъ этихъ сложныхъ единицъ образуются многозначныя числа? Въ нашемъ русскомъ язык для этого обыкновенно существуетъ одинъ путь: сложеніе и повтореніе. Что значитъ, напр., тринадцать? три-на-десять, т.-е. 10+3, здсь мы видимъ сложеніе; что значитъ тридцать? тридцать — трижды десять: здсь встрчаемъ мы повтореніе, иначе сказать умноженіе 10 на 3; въ выраженіи «триста двадцать» содержится два повторенія «три-ста», «два-десять» — и одно сложеніе — «триста двадцать». Но не такъ просто ршается этотъ вопросъ въ другихъ языкахъ. Въ нихъ для образованія сложныхъ чиселъ берутся и другія два дйствія, — вычитаніе и дленіе; напр., по-латыни восемнадцать будетъ duodeviginti, это значитъ двадцать безъ двухъ, девятнадцать — undeviginti, это значатъ двадцать безъ одного. По-санскритски 95 выражается черезъ pantchonangsatam, что значитъ сто безъ пяти. Что касается дленія, то имъ иногда образуются числа и у насъ, напр., вмсто «пятьдесятъ» говорятъ часто полсотни. Въ датскомъ язык 60 выражается черезъ трижды двадцать (tresindstyve) — объ этомъ мы говорили выше, а 50 черезъ 2 1/2 раза по 20—halvtresindsryve, здсь уже дленіе. Но вообще говоря, чмъ система счета развите, тмъ боле приближаетея она къ десятичиой и тмъ ясне проявляется образованіе чиселъ при помощи сложенія и умноженія. У насъ, напр., въ русскомъ язык числа отъ 11 до 20 словесно выражены не очень ясно, напр., «пятнадцать» вмсто «десять и пять», но, начиная съ 21, составъ чиселъ уже гораздо ясне, и мы встрчаемъ такія выраженія: «двадцать пять», «тридцать шесть» и т. п., въ которыхъ десятки ясно разграничены съ единицами; подобно этому полные десятки въ предл ста выражены не совсмъ ясно. «тридцать» вмсто «три десятка», а сотни выражены уже ясне: «триста» вмсто «три сотни», а тысячи совершенно ясно: «три тысячи». Нашимъ дтямъ, которыя начинаютъ учиться ариметик, легче въ этомъ случа, чмъ, напр., нмецкимъ; тамъ для чиселъ 11 и 12 употребляются такія слова, изъ которыхъ не видно разложенія ихъ на десятокъ и единицы; кром того, въ двузначныхъ числахъ въ нмецкомъ язык выговариваются сперва единицы, а потомъ уже десятки, т.-е. какъ разъ обратно тому, какъ числа обозначаются письменно.
Предлъ чиселъ
Каковъ предлъ чиселъ, иначе сказать: до какого самого большого числа доходитъ тотъ или другой народъ при счет и вычисленіи?
Живетъ въ настоящее время два дикихъ племени, Жури и Каирири, которыя считаютъ только по одной рук и такимъ образомъ доходятъ только до пяти. Есть еще хуже. Низшія племена Бразиліи считаютъ обыкновенно по суставамъ пальцевъ и добираются этимъ путемъ только до трехъ. Все, что выше 2-хъ, они выражаютъ общимъ словомъ «много». Цивилизованные народы древнйшихъ временъ, какъ то: халдеи, евреи и китайцы, не заходили въ счет слишкомъ далеко. Въ халдейскихъ надписяхъ и памятникахъ нигд не встрчается упомипанія о милліон. Въ Библіи есть, правда, выражепія «тысяча тысячъ» и «тысяча разъ по десяти тысячъ», однако подъ ними никакъ нельзя разумть опредленныхъ чиселъ, скорй же это картинное обозначеніе какихъ-то громадныхъ, неизмримыхъ количествъ. Не даромъ наши предки славяне принимали десять тысячъ за «тьму», какъ за что-то туманное и неясное, до чего нельзя и досчитаться. Еще сильне употреблявшееся у нихъ выраженіе «невдіе», въ старинныхъ рукописныхъ славянскихъ ариметикахъ оно обозначало сотню тысячъ. Древнйшій культурный народъ Азіи, китайцы, слабые, впрочемъ, математики, считали тысячу и десять тысячъ внцомъ всхъ чисел: друзьямъ они желаютъ жить тысячу лтъ, а императору десятокъ тысячъ. Изъ всего этого видно, что большинство народовъ древности, даже и очень образованныхъ, довольствовались въ ариметик первыми 4 разрядами и дальше тысячъ при счет не шли.