Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
2. Причина свечения туманностей.
Как уже сказано, в газовых туманностях происходит переработка высокочастотного излучения звёзд в кванты меньших частот. Мы сейчас должны выяснить, в чем причина этого процесса. Чтобы сделать это, рассмотрим сначала свойства излучения, приходящего от звезды в данное место туманности.
Будем считать, что звезда излучает как абсолютно чёрное тело температуры T*. Если бы все небо сплошь было покрыто такими звёздами, то плотность излучения в данном месте туманности равнялась бы плотности излучения при термодинамическом равновесии, т.е. выражалась бы формулой Планка
*
=
8h^3
1
.
c^3
exp
h
– 1
kT
*
(22.1)
В
=
W
*
,
(22.2)
где W — так называемый коэффициент дилюции (ослабления) излучения. Очевидно, что
W
=
2
,
(22.3)
Рис. 29
где — телесный угол, под которым видна звезда из данной точки туманности (рис. 29). Обозначим через r* радиус звезды и через r — расстояние рассматриваемой точки от центра звезды. Так как
=
2
0
sin
d
=
2
(1-cos
)
,
а sin =r*/r, то мы получаем
W
=
1
2
1-
1-
r*
r
^2
1/2
.
(22.4)
В точку, находящуюся на поверхности звезды, излучение приходит от полусферы. Поэтому в данном случае (т.е. при r=r*) W= 1/2 .
Для точек, находящихся на больших расстояниях от звезды (т.е. при r>>r*), из формулы (22.4) находим
W
=
1
2
r*
r
^2
.
(22.5)
Заметим, что в этом случае коэффициент дилюции может быть представлен как отношение площади диска звезды r*^2 к площади сферы радиуса r, т.е. 4r^2.
Средние радиусы планетарных туманностей оказываются порядка 10^1 см, а радиусы их ядер — порядка 10^1 см. Поэтому плотность излучения в планетарной туманности ослаблена приблизительно в 10^1 раз по сравнению с плотностью излучения на поверхности звезды.
Проинтегрировав соотношение (22.2) по всем частотам и воспользовавшись формулой Стефана — Больцмана для интегральной плотности излучения при термодинамическом равновесии, получаем следующее
=
WaT
*
.
(22.6)
Представив величину в виде =aT, находим
T
=
W
1/4
T
*
.
(22.7)
Так как температуры звёзд, вызывающих свечение туманностей, порядка нескольких десятков тысяч кельвинов, а значения W в туманностях, как мы только что определили, порядка 10^1, то значения температуры T соответствующей интегральной плотности излучения в туманностях, оказываются всего порядка нескольких десятков кельвинов.
Итак, интегральная плотность излучения, приходящего от звезды в туманность, чрезвычайно мала. Между тем, как видно из формулы (22.2), относительное распределение этого излучения по частотам оказывается таким же, как при выходе из звезды, т.е. соответствующим очень высокой температуре T*. Таким образом, излучение, приходящее от звезды в туманность, характеризуется громадным несоответствием между интегральной плотностью и спектральным составом.
Если излучение, обладающее указанным свойством, взаимодействует с веществом, то, как известно из термодинамики, происходит перераспределение излучения по частотам в направлении установления наиболее вероятного распределения. Иными словами, в таком случае должна происходить переработка квантов больших частот в кванты меньших частот. Этим даётся качественное объяснение процесса переработки излучения в газовых туманностях.
3. Теорема Росселанда.
Переходя к рассмотрению процесса свечения туманностей с количественной стороны, мы сначала допустим, что атомы обладают только тремя уровнями энергии (1, 2 и 3). Из различных переходов, происходящих под действием излучения звезды, мы рассмотрим два взаимно противоположных циклических процесса:
I.
1
– >
3
– >
2
– >
1
,
II.
1
– >
2
– >
3
– >
1
.
Первый из этих процессов связан с поглощением одного кванта частоты и с излучением двух квантов меньших частот и , а второй — с поглощением двух квантов частот и , и последующим излучением одного кванта большей частоты .
Найдём число процессов первого и второго рода, происходящих в единице объёма туманности за 1 с. Для этого воспользуемся эйнштейновскими коэффициентами переходов Aki, Bik и Bki и обозначим через ik плотность излучения частоты ik.
Если n — число атомов в первом состоянии в 1 см^3, то число переходов из первого состояния в третье, происходящих в 1 см^3 за 1 с, будет равно nB. Из третьего состояния возможны переходы (спонтанные и индуцированные) как в первое состояние, так и во второе. Доля интересующих нас переходов во второе состояние равна
A+B
A+B+A+B
.
Из атомов, оказавшихся во втором состоянии, часть перейдёт обратно в третье состояние, поглотив излучение, а часть перейдёт в первое состояние (спонтанно или под действием излучения). Отношение числа переходов из второго состояния в первое к общему числу переходов из второго состояния равно