Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
Нахождение функции S(t) из уравнения (27.40) полностью определяет поле L– излучения в туманности, так как после этого из уравнения (27.37) может быть найдена и интенсивность излучения I(t,). Через функцию S(t) можно выразить и другие физические величины, связанные с L– излучением. Например, из формул (27.27) и (27.31) мы получаем следующее выражение для степени возбуждения второго уровня атома водорода:
n
n
=
g
g
c^2
2h^3
S(t)
.
(27.44)
Здесь
Ядро интегрального уравнения (27.40) выражается через функцию K(t), которая в свою очередь зависит от величины (x). Поэтому и искомая функция S(t) будет существенно зависеть от величины (x), характеризующей контур коэффициента поглощения.
Первоначально в теории диффузии L– излучения в туманностях принимался прямоугольный контур коэффициента поглощения, т.е. считалось, что (x)=1 при |x|<=1 и (x)=0 при |x|>1. В таком случае уравнение (27.40) имеет вид
S(t)
=
1
2
t
0
E|t-t'|
+
E(t+t')
S(t')
dt'
+
S(t)
.
(27.45)
Здесь мы не будем заниматься решением этого уравнения, а только укажем, что в результате получаются очень большие значения для плотности L– излучения в туманности. Это значит, что L– квант испытывает в туманности очень большое число рассеяний. Именно, среднее число рассеяний оказывается порядка квадрата оптической толщины туманности в центре линии L, т.е.
N
t^2
.
(27.46)
Следовательно, при t10 будет N10.
Однако предположение о прямоугольном контуре коэффициента поглощения является весьма грубым. В действительности коэффициент поглощения максимален в центре линии и постепенно убывает с удалением от него. Вследствие этого диффузия излучения в спектральной линии обладает следующей особенностью. Каждый квант, поглощённый в каком-либо месте туманности, может быть затем излучён на любом расстоянии от центра линии (так как ~k). В частности, он может быть излучён с такой частотой, что оптическая толщина туманности в этой частоте будет по порядку меньше единицы (т.е. t=t(x)). Такой квант беспрепятственно выйдет из туманности. Следовательно, для каждого кванта, поглощённого в любом месте туманности, имеется определённая вероятность выйти из туманности наружу сразу после переизлучения. Очевидно, что такой процесс не может происходить в случае прямоугольного контура коэффициента поглощения. В этом случае квант выходит из туманности наружу только после длительной диффузии, подойдя близко к границе туманности.
Указанная особенность диффузии излучения в спектральной линии позволяет легко получить приближённое решение уравнения (27.40). Из сказанного выше следует, что L– квант, возникший в каком-либо месте туманности, выходит из неё наружу после диффузии в сравнительно небольшой области. Следовательно, плотность L– излучения в данном месте мало зависит от плотности излучения в далёких от него частях туманности. Поэтому в уравнении (27.40) мы можем приближённо вынести за знак интеграла значение функции S(t') при t'=t. Сделав это, получаем
S(t)
1-
0
K(u)
du
+
1
2
t-t
K(u)
du
+
+
1
2
t+t
K(u)
du
=
S(t)
.
(27.47)
Но
0
K(u)
du
=
1.
(27.48)
Поэтому из (27.47) находим
S(t)
=
2S(t)
L(t-t)+L(t+t)
,
(27.49)
где
L(t)
=
t
K(u)
du
=
A
+
–
^2(x)
E[(x)t]
dx
,
(27.50)
Et — вторая интегрально-показательная функция.
Легко видеть, что величина 1/2 [L(t-t)+L(t+t)] представляет собой долю L– квантов, выходящих из туманности, из общего числа L– квантов, излучаемых на оптическом расстоянии t от внутренней границы туманности. Следовательно, соотношение (27.49) выражает равенство между собой числа L– квантов, возникающих в данном объёме из Lc– излучения, и числа L– квантов, излучаемых этим объёмом и покидающих туманность.
Мы можем считать, что отношение S(t)/S(t) приближённо определяет собой среднее число рассеяний, испытываемых L– квантом, возникшим на оптическом расстоянии t. Из формулы (27.49) следует, что это число приближённо равно
N(t)
=
2
L(t-t)+L(t+t)
.
(27.51)
Формулу (27.51) легко понять и на основании физического смысла величины L(t).
Рассмотрим в виде примера случай, когда коэффициент поглощения имеет доплеровский профиль, т.е. (x)=e– x^2. В этом случае
K(t)
=
2
0
(x)=e
– 2x^2
E(te
– x^2
)
dx
(27.52)
и
L(t)
=
2
0
(x)=e
– x^2
E(te
– x^2
)
dx
(27.53)
При t>>1 из (27.52) и (27.53) вытекают следующие асимптотические формулы:
K(t)
=
1
2 t^2 ln t
(27.54)
и
L(t)
=
1
2 t ln t
.
(27.55)
Подставляя выражение (27.55) в формулы (27.49) и (27.51), мы получаем приближённые формулы для величин S(t) и N(t) соответственно. В частности, среднее число рассеяний L– кванта, возникшего на внутренней границе туманности, приближённо равно
N(0)