Курс теоретической астрофизики

Соболев Виктор Викторович

Для вычисления величины W по формуле (12.1) надо задать модель атмосферы. В случае модели Шварцшильда — Шустера величина r определяется формулой (10.19). Подставляя (10.19) в (12.1), мы получаем зависимость между W и N Однако, строго говоря, в эту зависимость должны входить ещё величины, являющиеся параметрами в выражении для коэффициента поглощения k Если для k взять выражение (8.18), то такими параметрами будут k, _D и a. Очевидно, что в данном случае эквивалентная ширина линии зависит от произведения kN и от параметров _D

и a, т.е.

W

=

F

k

N

,

_D

,

a

.

(12.2)

В случае модели Эддингтона при простейших предположениях величина r даётся формулой (10.37), в которой =kn/ В данном случае для эквивалентной ширины линии имеем

W

=

F

k

n

,

_D

,

a

.

(12.3)

Легко видеть, что величина n/ обладает таким же физическим смыслом, как и величина N, т.е. представляет собой число поглощающих атомов в столбе с сечением 1 см^2 над фотосферой. В самом деле, мы имеем

N

=

r

n

dr

=

n

r

dr

=

n

.

(12.4)

А так как оптическая глубина основания атмосферы в непрерывном спектре порядка единицы, то величины n/ и N должны быть одного порядка.

Из сказанного следует, что для определения числа поглощающих атомов с помощью кривой роста необходимо знать параметры k, _D и a. Однако в большинстве случаев эти параметры известны плохо, и поэтому их пытаются находить также с помощью кривой роста. Это можно делать потому, что обычно в спектре звезды содержится много линий данного атома, т.е. мы имеем много соотношений типа (12.2) или (12.3), в которых значения величины W известны из наблюдений.

Таким образом, с помощью кривой роста может быть решён ряд задач. Мы сейчас перечислим некоторые из них.

1. Определение числа поглощающих атомов N (или n/), т.е. числа атомов в состоянии, при переходах из которого возникает данная линия. После этого производится оценка числа атомов рассматриваемого элемента во всех состояниях. Таким путём находится химический состав атмосферы.

2. Нахождение числа атомов в разных состояниях (если в спектре звезды наблюдаются линии, возникающие из разных состояний). При представлении этих чисел формулой Больцмана определяется «температура возбуждения» атомов в атмосфере.

3. Определение доплеровской полуширины линии, равной

_D

=

v

c

,

(12.5)

где v — средняя скорость хаотического движения атомов (теплового и турбулентного). Отсюда может быть получено значение скорости v.

4. Нахождение параметра a, который даётся формулой (8.27). Тем самым определяется роль столкновений в затухании излучения.

5. Определение величины k, связанной с эйнштейновским коэффициентом спонтанного перехода A_ki формулой (8.16). Выражая коэффициент A_ki через силу осциллятора f, получаем

k

=

e^2

mv

f

,

где m — масса электрона и e — его заряд. Следовательно, зная k, можно найти силу осциллятора для данной линии.

Ниже мы получим теоретические кривые роста в явном виде и сообщим результаты их применения к определению химического состава звёздных атмосфер. Вопросы определения других параметров атмосфер с помощью кривых роста будут кратко рассмотрены в следующем параграфе. Подробнее см. [9] и [10].

2. Кривая роста для модели Шварцшильда — Шустера.

Чтобы получить зависимость эквивалентной ширины линии от числа поглощающих атомов в случае модели Шварцшильда — Шустера, надо подставить в формулу (12.1) выражение (10.19). Сделав это, находим

W

=

kN

1+kN

d

.

(12.7)

Для коэффициента поглощения k мы возьмём выражение (8.18). Так как интеграл (12.7) в общем виде не берётся, то мы рассмотрим три частных случая, соответствующих трём участкам кривой роста.

1. Пусть N мало, так что kN<<1 для всех частот. В этом случае формулу (12.7) можно переписать в виде

W

=

N

k

d

.

(12.8)

Подставляя сюда выражение (8.18), получаем

W

=

v

c

k

N

.

(12.9)

Эта формула справедлива только для очень слабых линий.

2. Пусть N велико, так что kN>>1, но kN<<1 в тех частях линии, где k определяется затуханием излучения. В данном случае для k можно взять выражение (8.24). Подставляя его в формулу (12.7), имеем

W

=

k

N

v

c

+

–

e^{– u^2}du

1+kNe^{– u^2}

.

(12.10)

Приближённое вычисление интеграла даёт

W

=

2

v

c

ln kN

.

(12.11)

Заметим, что формула (12.11) может быть также получена из следующих соображений. Найдём то расстояние от центра линии, на котором r= 1/2 . Согласно формуле (10.19), на этом расстоянии должно быть kN=1 или