Курс теоретической астрофизики

Соболев Виктор Викторович

Сначала мы допустим, что в атмосфере происходит изотропное рассеяние света, т.е. x=1. Тогда величина S будет функцией только от , а интенсивность излучения I — функцией только от и . Поэтому уравнения (19.6) и (19.7) можно переписать в виде

dI(,,)

d

=

I(,,)

–

S(,)

,

(19.10)

S(,)

=

2

+1

– 1

I(,,)

d

+

4

F

exp

–

,

(19.11)

где

обозначено cos =, cos = и подчёркнута зависимость величин I и S от параметра .

Из уравнений (19.10) и (19.11) можно получить одно интегральное уравнение для определения функции S(,). Поступая так же, как при выводе уравнения (2.48), находим

S(,)

=

2

0

E|-t|

S(t,)

dt

+

4

F

exp

–

,

(19.12)

где E — первая интегральная показательная функция.

Если функция S(,) известна, то может быть легко определена и интенсивность излучения, выходящего из атмосферы, т.е. величина I(0,,). Полагая

I(0,,)

=

F(,)

,

(19.13)

имеем

(,)

=

1

F

0

S(,)

exp

–

d

.

(19.14)

Величина (,) называется коэффициентом яркости или коэффициентом отражения атмосферы.

Интегральное уравнение (19.12) относится к уравнениям типа (3.1), подробно рассмотренным в § 3. В данном случае ядро уравнения (3.1) даётся формулой (3.17), в которой A(x)=/2x, a=1, b=, а свободный член имеет вид

g

=

4

F

exp

–

.

Пользуясь соотношениями (3.19) и (3.20), мы получаем для коэффициента яркости выражение

(,)

=

4

–

,

(19.15)

в котором функция определяется уравнением

=

1+

2

1

0

(')

+'

d'

.

(19.16)

Как мы помним, функция уже встречалась в теории звёздных фотосфер (в § 3) и в теории образования звёздных спектров (в § 10). Теперь мы видим, что через ту же функцию выражается коэффициент яркости планетной атмосферы. Значения функции при разных значениях параметра приведены на стр. 119.

Соотношения (19.15) и (19.16) мы получили при помощи уравнения (19.12), однако В. А. Амбарцумян показал, что их можно

также получить без использования этого уравнения, а именно — при помощи так называемого «принципа инвариантности». Согласно этому принципу отражательная способность полубесконечной среды не изменится, если к ней добавить некоторый слой с теми же оптическими свойствами. Добавляя к полубесконечной среде слой бесконечно малой оптической толщины, определяя все изменения в интенсивности излучения, вносимые этим слоем, и приравнивая их нулю, мы и приходим к указанным соотношениям (см. [1]).

При помощи принципа инвариантности был также найден коэффициент яркости при произвольной индикатрисе рассеяния. В виде примера приведём результат, полученный при простейшей несферической индикатрисе рассеяния

x

=

1+

xcos

,

(19.17)

где x — некоторый параметр.

В данном случае коэффициент яркости определяется формулой

(,,)

=

(,)

+

(,)

cos

,

(19.18)

а величины (,) и (,) имеют следующую структуру:

(,)

=

4

– x

+

,

(19.19)

(,)

=

4

x

^1 ^1

+

.

(19.20)

В свою очередь вспомогательные функции и определяются из системы уравнений

=

1

+

+

2

1

0

(')-x(')

– '

d'

,

(19.21)

=

–

–

2

1

0

(')-x(')

– '

d'

,

(19.22)

а вспомогательная функция ^1 — из уравнения

^1

=

1-^2

+

+

4

x

^1

1

0

^1(')

+'

1-'^2

d'

.

(19.23)

Функции , и ^1 табулированы, так что вычисление коэффициента яркости по формулам (19.18) — (19.20) не составляет труда.

При сильно вытянутой индикатрисе рассеяния формулы для коэффициента отражения (,,) становятся довольно сложными. В этом случае для его определения используются численные методы.

3. Атмосфера конечной оптической толщины.

Рассмотрим теперь рассеяние света в атмосфере произвольной оптической толщины . Считая для простоты, что индикатриса рассеяния является сферической, получаем следующее уравнение для определения функции S(,):