Курс теоретической астрофизики

Соболев Виктор Викторович

(,)

=

4

–

+

,

(19.39)

(,)

=

4

+

–

.

(19.40)

Подставляя же выражения (19.39) и (19.40) в формулы (19.33) и (19.34), находим

=

1+

2

1

0

(')-(')

+'

d'

,

(19.41)

=

exp

–

+

+

2

1

0

(')-(')

– '

d'

.

(19.42)

Соотношения (19.39)—(19.42)

являются искомыми. Формулы (19.39) и (19.40) определяют структуру коэффициентов яркости, а уравнения (19.41) и (19.42) служат для определения вспомогательных функций и .

При индикатрисе рассеяния произвольного вида коэффициенты яркости также выражаются через вспомогательные функции, зависящие только от одного аргумента, и эти функции определяются системами уравнений, похожими на уравнения (19.41) и (19.42) (см., например, [2]).

Нам ещё остаётся доказать симметричность коэффициентов яркости относительно углов падения и отражения (или пропускания). Для этого рассмотрим интегральное уравнение

S(,)

=

0

K(|-t|)

S(t,)

dt

+

g(,)

(19.43)

с произвольным ядром, зависящим от модуля разности двух аргументов, и с произвольным свободным членом, зависящим от параметра Уравнение (19.24) является частным случаем уравнения (19.43).

Считая, что g(,) представляет собой свободный член уравнения (19.43), в котором заменено на получаем

0

S(,)

g(,)

d

=

=

0

S(,)

S(,)

–

0

K(|-t|)

S(t,)

dt

d

=

=

0

S(,)

S(,)

d

–

–

0

S(,)

dt

0

S(,)

K(|-t|)

d

.

(19.44)

Отсюда, обращаясь снова к уравнению (19.43), находим

0

S(,)

g(,)

d

=

0

S(,)

g(,)

d

.

(19.45)

Аналогично можно получить:

0

S(,)

g(-,)

d

=

0

S(,)

g(-,)

d

.

(19.46)

Полагая

g(,)

=

exp

и принимая во внимание формулы (19.25) и (19.26), из (19.45) и (19.46) имеем

(,)

=

(,)

,

(,)

=

(,)

.

(19.47)

Эти

соотношения, которыми раньше мы уже пользовались, нам и требовалось доказать.

Соотношения (19.47) играют весьма важную роль в теории рассеяния света. С физической точки зрения они выражают «принцип обратимости» для оптических явлений. К планетным атмосферам впервые этот принцип применил Миннарт (см. [5]).

4. Отражение света поверхностью планеты.

Выше мы предполагали, что коэффициент отражения света поверхностью планеты равен нулю. Теперь примем во внимание эффект отражения, причём для простоты будем считать, что интенсивность отражённого света не зависит от направления (т.е. отражение является изотропным). Альбедо поверхности планеты обозначим через A. Индикатрису рассеяния света в планетной атмосфере, как и раньше, будем считать сферической.

В данном случае атмосфера освещена не только прямыми солнечными лучами сверху, но и диффузным излучением, идущим от поверхности планеты снизу. Отношение коэффициента излучения к коэффициенту поглощения теперь мы обозначим через S(,) и вместо уравнения (19.24) получаем

S

(,)

=

2

0

E|-t|

S

(t,)

dt

+

4

F

exp

–

+

+

2

I

1

0

exp

–

–

d

.

(19.48)

где I — интенсивность излучения, отражённого поверхностью.

Нам надо найти коэффициенты яркости (,) и (,) определяемые формулами

F

(,)

=

0

S

(,)

exp

–

d

+

+

I

exp

–

,

(19.49)

F

(,)

=

0

S

(,)

exp

–

–

d

.

(19.50)

Последний член формулы (19.49) учитывает излучение, отражённое поверхностью и прошедшее через атмосферу.

Входящая в уравнение величина I заранее также не является известной. Очевидно, что она зависит от искомой интенсивности излучения, падающего на поверхность, или от соответствующего коэффициента яркости (,). Чтобы найти указанную зависимость, надо прежде всего написать выражение для освещённости поверхности. Легко видеть, что освещённость прямыми солнечными лучами равна

F

exp

–

,

а освещённость диффузным излучением атмосферы равна