Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
2F
1
0
(,)
d
.
Умножая суммарную освещённость на альбедо поверхности A, мы получаем количество энергии, отражённое поверхностью. С другой стороны, это количество энергии равно I. Поэтому имеем
I
=
AF
exp
–
+2
1
0
(,)
d
.
(19.51)
Для нахождения величин (,) и (,) сравним между собой
S
(,)
=
S(,)
+
2
F
I
1
0
S(-,')
d'
.
(19.52)
Умножая (19.52) на
exp
–
d
,
интегрируя в пределах от нуля до и пользуясь формулами (19.25), (19.26) и (19.49), получаем
(,)
=
(,)
+
+
I
F
exp
–
+2
1
0
(,')
'
d'
.
(19.53)
Аналогично находим
(,)
=
(,)
+
I
F
2
1
0
(,')
'
d'
.
(19.54)
Для определения величины I умножим (19.54) на 2 d и проинтегрируем в пределах от нуля до 1. При помощи (19.51) это даёт
I
=
A
1-AC
exp
–
+2
1
0
(,)
d
F
,
(19.55)
где обозначено
C
=
4
1
0
d
1
0
(,')
'
d'
.
(19.56)
Вводя также обозначения
M
=
exp
–
+
2
1
0
(,')
'
d'
,
(19.57)
N
=
2
1
0
(,')
'
d'
(19.58)
и подставляя (19.55) в (19.53) и (19.54), получаем
(,)
=
(,)
+
A
1-AC
M
M
,
(19.59)
(,)
=
(,)
+
A
1-AC
N
M
(19.60)
Таким образом, мы пришли к формулам, посредством которых коэффициенты яркости (,) и (,) при A/=0 выражаются через коэффициенты яркости (,)
Входящие в формулы (19.59) и (19.60) величины M и N можно выразить через те же вспомогательные функции и , через которые раньше были выражены величины (,) и (,). При помощи формул (19.39) и (19.40), а также уравнений (19.41) и (19.42), находим
M
=
1-
2
+
2
,
(19.61)
N
=
1-
1-
2
–
2
,
(19.62)
где использованы обозначения
i
1
0
i
d
,
i
1
0
i
d
,
(19.63)
т.е. и — нулевые моменты функций и .
Легко видеть, что величины N и N имеют простой физический смысл. Первая из них представляет собой отношение освещённости поверхности планеты к освещённости верхней границы атмосферы, а вторая — отношение освещённости верхней границы снизу к освещённости верхней границы сверху (при A=0).
5. Альбедо планеты.
Полученные выше формулы для интенсивности излучения, диффузно отражённого планетной атмосферой, позволяют легко определить альбедо планеты. Сначала мы найдём так называемое плоское альбедо, т.е. альбедо планеты в данном месте при определённом угле падения солнечных лучей на плоский слой, в виде которого представляется атмосфера. Очевидно, что поток излучения, выходящего из атмосферы, равен
2
F
1
0
(,)
d
,
а поток солнечного излучения, падающего на атмосферу, равен F. Поэтому плоское альбедо, являющееся отношением указанных потоков, равно
A
=
2
1
0
(,)
d
.
(19.64)
Для вычисления величины A подставим в формулу (19.64) выражение (19.59). Учитывая при этом формулы (19.58) и (19.61), получаем
A
=
N
+
+
A
1-AC
(2-)
+
M
,
(19.65)
где, как и раньше, A — альбедо поверхности планеты, а и — первые моменты функций и . Как видно из формул (19.56), (19.58) и (19.62), величина C равна
C
=
1-
(2-)
–
.
(19.66)
Отметим, что входящие в приведённые формулы величины и связаны между собой простым соотношением. Чтобы получить его, проинтегрируем уравнение (19.41) по в пределах от нуля до 1. В результате находим