Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
S(,)
=
2
0
E|-t|
S(t,)
dt
+
4
F
exp
–
.
(19.24)
Здесь мы пока пренебрегли отражением света поверхностью планеты.
Наша задача состоит в определении интенсивностей излучения, диффузно отражённого и диффузно пропущенного атмосферой. Вместо них мы будем искать соответствующие им коэффициенты яркости (или коэффициенты отражения и пропускания) (,) и (,), выражающиеся через функцию S(,)
F(,)
=
0
S(,)
exp
–
d
,
(19.25)
F(,)
=
0
S(,)
exp
–
–
d
.
(19.26)
Однако для нахождения величин (,) и (,) нет необходимости в предварительном определении функции S(,) Как и в случае =, можно получить уравнения, непосредственно определяющие коэффициенты яркости. Для этого поступим следующим образом.
Перепишем уравнения (19.24) в виде
S(,)
=
2
0
E(-t)
S(t,)
dt
+
+
2
0
E(t-)
S(t,)
dt
+
4
F
exp
–
.
(19.27)
Положив -t=x в первом интеграле и t-=x во втором, получаем
S(,)
=
2
0
Ex
S(-x,)
dx
+
2
–
0
Ex
S(+x,)
dx
+
4
F
exp
–
.
(19.28)
Дифференцируя это уравнение по , находим
S'(,)
=
2
0
E|-t|
S'(t,)
dt
–
F
4
exp
–
+
+
2
S(0,)
E
–
2
S(,)
E(-)
.
(19.29)
Сравнивая между собой уравнения (19.24) и (19.29), мы видим, что они имеют одинаковые ядра и отличаются друг от друга лишь свободными членами. Но так как функция E определяется формулой
E
=
1
0
exp
–
d
,
(19.30)
то свободный член уравнения (19.29) представляет собой суперпозицию свободных членов уравнения (19.24). Поэтому вследствие линейности рассматриваемых уравнений имеем
S'(,)
=-
1
S(,)
+
2
F
S(0,)
1
0
S(,')
d'
'
–
–
2
F
S(,)
1
0
S(-,')
d'
'
.
(19.31)
Соотношение (19.31)
exp
–
d
,
интегрируя по в пределах от нуля до и учитывая формулы (19.25) и (19.26), находим
F
(,)
(+)
=
S(0,)
–
S(,)
,
(19.32)
где обозначено
=
1+
2
1
0
(,')
d'
,
(19.33)
=
exp
–
+
2
1
0
(,')
d'
.
(19.34)
После умножения соотношения (19.31) на
exp
–
–
d
,
и интегрирования аналогично получаем
F
(,)
(-)
=
S(0,)
–
S(,)
.
(19.35)
С другой стороны, из уравнения (19.24) вытекает
S(0,)
=
2
0
S(t,)
dt
1
0
exp
–
t
d
+
4
F
=
=
2
1
0
d
0
S(t,)
exp
–
t
dt
+
4
F
=
=
4
F
1+
2
1
0
(,)
d
.
(19.36)
Из того же уравнения аналогично находим
S(,)
=
4
F
exp
–
+
2
1
0
(,)
d
.
(19.37)
Пользуясь симметричностью величин (,) и (,). относительно и (которая будет доказана ниже) и обозначениями (19.33) и (19.34), получаем
S(0,)
=
4
F
,
S(,)
=
4
F
.
(19.38)
Подстановка выражений (19.38) в формулы (19.32) и (19.35) даёт