Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней
Шрифт:
Если последнее звучит как пародия на нормальное доказательство и еще более нормальный жизненный опыт, каковым он является, можно вспомнить множество примеров из истории, таких же абсурдных карикатур на нормальную психику и здравый смысл. Чтобы привести пример, который не будет спорным, поскольку все поводы для споров давно исчерпаны, обратимся к истории с ортодоксальными логиками времен Галилея (конец XVI века), отрицающими очевидность чувственного опыта в случае падения тел. Логики видели, как тела весом один фунт и десять фунтов падали с равной высоты и коснулись земли одновременно. Но их интуитивная логика подсказывала им, что следует предположить, что более тяжелое тело должно падать в десять раз быстрее, чем легкое. Увиденное, следовательно, было навязчивым обманом разума со стороны чувств. Они продолжали настаивать на своей правоте, и для них, следовательно, все было очевидно. Чуть позже более податливые приняли приглашение Галилея посмотреть на спутники Юпитера через его телескоп. Они легко отнесли
Приведенные парадоксы взяты из парадоксов Зенона. О нем мало что известно. Зенон, сын Телетагора, был родом из Элии. Наибольшего расцвета достиг в 475 году до н. э. Не более того известно о целях, которые он преследовал при создании своих бессмертных парадоксов. Его парадоксы движения, возможно, наиболее популярные из восьми, что Зенон завещал многим поколениям логиков и математиков. Два других парадокса движения получили наименование «Стрела» и «Стадион». «Летящая стрела находится в покое. Поскольку то, что находится в покое, занимает пространство, равное себе, и то, что летит в данный момент времени, тоже занимает пространство, равное себе, стрела не может двигаться». «Стадион» – парадокс более сложный для понимания без дополнительных пояснений, поэтому пропустим его. Он заведет нас во временной абсурд, когда половина отведенного времени равна всему времени. Еще четыре парадокса столь же сложны для восприятия, но для заявленных целей вполне достаточно уже трех указанных.
Учитывая множество спекуляций на тему, какие цели преследовал Зенон, разрабатывая свои парадоксы, можно процитировать высказывания по данному вопросу якобы самого Зенона, как их приводит Платон в «Пармениде». Спорная легенда о «Пармениде» рисует Сократа молодым человеком, лет двадцати от роду. Он встречает Зенона, которому в ту пору «было около сорока лет, человека благородного происхождения с благородным лицом. В дни его молодости о нем говорили, что он был любим Парменидом». Сократ и его друзья «хотели услышать что-либо из написанного Зеноном, что тот захватил в Афины… впервые. …Сократ был еще очень молод, и… Зенон прочитал их ему в отсутствие Парменида…». Более чем достаточно о встрече Сократа и Зенона, которая вообще могла быть придумана Платоном, дабы придать человеческие черты абстракт ной работе «Парменид». В разговоре Зенон просит прочитать ему первый парадокс. Сократ озадачился. Затем спросил:
«– Что ты имел в виду, Зенон? Твой аргумент, что существование Множества предполагает необходимость существования похожего и непохожего, а это невозможно, поскольку все похожее не может быть непохожим. Такова твоя позиция?
– Именно так, – ответил Зенон. – Но если непохожее не может быть похожим или наоборот, тогда никакое Множество невозможно, поскольку это потребует применения невозможности? Не состоит ли твоя цель в том, чтобы опровергнуть существование Множества? И не направлен ли каждый твой трактат на отдельное доказательство этого, тогда будет столько доказательств, сколько аргументов ты придумаешь о невозможности существования Множества?
– Нет. Ты неправильно понял главный тезис трактата, – ответил Зенон.
Беседа продолжилась. В конце Зенон определенно просветил Сократа:
– Реальная цель моих трудов состоит в том, чтобы защитить аргументы Парменида от тех, кто высмеивает его и выдвигает бесконечные фантастические и противоречивые выводы, которые якобы следуют из формального определения Единицы. Мой ответ адресован сторонникам Множества и имеет целью показать, что, если задаться целью, из их гипотезы существования Множества легко сделать выводы более весомые и более нелепые, чем из гипотезы существования Единицы».
Между прочим, он изобрел диалектику. Затем Зенон поведал, что в молодые годы любовь к противоречиям подтолкнула его написать парадоксальный трактат. Книгу украли, пояснил он, и у него не осталось другого выбора, как опубликовать парадоксы. «Мотивом» публикации, заверил он скептически настроенного Сократа, «были не амбиции старого человека, а неуживчивость молодого».
Какова бы ни была цель создания парадоксов, Зенон причастен в какой-то степени к тому, что греческие математики решительно не перешли к арифметике бесконечных чисел, арифметической теории континуума вещественных (действительных) чисел, анализу движения и практичной теории непрерывного изменения. Итак, любая серьезная работа по физике навсегда осталась выше их возможностей. Они остановились на полпути. Парадоксы Зенона и нехватка символов для представления чисел застопорили их.
Парадоксы, которые менее фанатично преданные логике люди игнорировали бы на время и занялись бы более насущными проблемами развития арифметики (конечной или бесконечной) и созданием математического аппарата для изучения физики и астрономии, превратили педантичных, ограниченных математиков Греции в перестраховщиков. Они предпочли заняться консолидацией и совершенствованием уже достигнутого и сделать единый безупречный шедевр, подобно одному из их белых храмов на скалистой вершине. Они преуспели в своей теории пропорций, которая и сейчас столь совершенна, каковой она была двадцать три века тому назад, но она бессодержательна, и ею никто не пользуется. К моменту завершения своего шедевра на благо восхищенного потомства огромная часть их талантов погрязла в классических формах и постепенно истощилась. За исключением неортодоксального Архимеда, жившего в 287–212 годах до н. э., который не опустился до презрения к рассуждениям о вещах, а также об идеях, которое было присуще греческим математикам после Платона, составившим незабываемую когорту из прошлого. К счастью для прогресса естествознания и развития математики, Ньютон в 1660-х годах проигнорировал парадоксы Зенона, если вообще когда-либо слышал о них, и смело создал чистую и прикладную математику непрерывного изменения. Его рассуждения о «бесконечно малом» и «бесконечно большом» привели бы в ужас математиков времен Платона. Но они дали ему дифференциальные и интегральные вычисления, без которых ни его собственная астрономия и механика, ни астрономия и механика его последователей в XVIII веке не была бы возможна. Он знал, что его расчеты грешат логическими несостыковками, но он не стал посвящать юность своего разума достижению абсолютной чистоты рассуждений.
Интерпретации парадоксов Зенона столь многочисленны, сколь и различны, и столь же безрезультатны, сколь и предположения о целях их создания. Вот запись, не относящая их к числу противостоящих прогрессу, по крайней мере в философии. Как отметил Бернард Рассел в своих «Лоуэльских лекциях» 1914 года: «Доводы Зенона до некоторой степени дали почву для почти всех теорий пространства, времени и бесконечности, которые были созданы с его дней до наших». Далее Рассел подвел свои итоги. При допущении, что конечное пространство и время состоят из конечного числа точек и мгновений, аргументы Зенона, как подчеркивает Рассел, правомерны. «Мы можем, следовательно, избежать его парадоксов либо устранить их, хотя пространство и время действительно состоят из точек и мгновений, а число их на любом конечном интервале бесконечно, либо отрицать, что пространство и время состоят из точек и мгновений, либо вообще, в конце концов, отрицать реальность самого пространства и времени, вместе взятых. Это выглядит так, словно сам Зенон, как сторонник Парменида, вывел последнее из трех возможных умозаключений безотносительно времени. В этом очень большое количество философов последовало его примеру». На что Зенон, скорее всего, ответил бы, как ответил Сократу: «Нет. Ты неправильно понял главный смысл трактата». В любом случае другие парадоксы проявились в арифметике бесконечного с тех пор, как Рассел опроверг Зенона. Рассел же продолжал: «…трудности могут возникнуть снова, если представить, что бесконечные числа допустимы. И на основании, независимом от пространства и времени, бесконечные числа и последовательности, в которых не может быть двух повторяющихся членов, должны быть в любом случае признаны», – и не только они, но и (как покажется из развития арифметики бесконечного с 1914 года) парадоксы наподобие непридуманных парадоксов Зенона.
В дополнение к предоставлению оснований «для почти всех теорий пространства, времени и бесконечности» от Зенона до Рассела парадоксы Зенона доказали наибольшую значимость для логики XX века, особенно в той части, что вытекает из признания бесконечных чисел в математике. Как отмечает Рассел, долго разыскиваемая дорога к конечному в 1914 году была прямой и ясной: «Из этого следует, что, если нам суждено разрешить весь класс противоречий, вытекающих из Зенона по аналогии, мы должны создать какую-нибудь надежную теорию бесконечных чисел. В чем же состоят противоречия, которые до последних тридцати лет вели философов к уверенности, что бесконечные числа невозможны? Противоречия делятся на два вида, первый из которых сродни мнимым, в то время как прочие вовлекают для их разрешения до определенной степени новое и нетрадиционное мышление.
Мнимые противоречия – это противоречия из числа тех, что предполагает этимология, и тех, что возникают из смешивания математической бесконечности и того, что философы дерзко именуют «истинной» бесконечностью».
К этому может быть добавлено, что математические логики (которые, несомненно, образуют особую разновидность, хотя, возможно, и представлены весьма скромно среди философов) начиная с 1914 года сочли необходимым проявлять «новое и нетрадиционное мышление» в отношении «теории бесконечных чисел» в надежде придать ей «убедительность». В процессе их размышлений они выявили несколько новых парадоксов логики, которые могли бы оказаться мнимыми, но которые тем не менее подсказали, что в дедуктивном мышлении существует больше ловушек и открытых ям, о которых Фалес и даже Платон никогда и не мыслили. Новые парадоксы теперь больше похожи на естественные следствия из эволюции математической логики, начатой самим Расселом в 1902 году. К некоторым еще вернемся в нужном месте.